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Intégration sur une sphère - partie 2

Calculer le produit vectoriel pour calculer la différentielle de la surface en fonction des paramètres. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a fait la paramétrisation de notre surface cette sphère unités maintenant on peut s'attaquer à la résolution de notre intégrale de surface on a vu avec l'exemple précédent que ça demande un petit peu de travail mais on va faire ça étape par étape et il n'y aura pas de problème j'en suis sûr la première chose que je veux faire c'est déterminé qu est-ce que ceux des sigma ici en fonction de nos paramètres s était de façon à pouvoir réécrire sa sous la forme d'une intégrale double temps le plan au st alors rappelle-toi des sigma en fait c'est juste en très petits morceaux c'est juste une très petite portion de notre surface et dans les vidéos précédentes on a vu que dès sigma c'est égal à la norme du produit vectorielle de quoi et bien de la dérive et partielle de notre fonction à valeur vectorielle la fonction r cette fonction là donc c'est le produit vectorielle de la dérivées partielles de cette fonction air par rapport à notre premier paramètre s est donc alors je change un petit peu de notation mais ça c'est exactement la même chose que la dérivées partielles de m par rapport à s1 c'est juste histoire de changer un petit peu de notation t'habituer à des choses différentes donc c'est le produit vectorielle de cette dérive est partielle et de la dérivées partielles de cette fonction m par rapport à tes tongs des sig masse est égal au produit avec à la norme du produit vectorielle de ces deux dérivées partielles fois la différentiel de chacun de nos paramètres cette définition paraît simple mais en fait on a vu avec l'exercice précédent que c'est quelque chose de plutôt long et fastidieux surtout quand il s'agit du produit vectorielle de vecteurs en trois dimensions mais alors avant ça on a besoin des dérivées partielles de notre fonction airs par rapport à s et par rapport à ton qu'on va tout de suite faire ça on va commencer par la dérive et partielle de notre fonction et valeur vectorielle par rapport à s alors tu sais maintenant comment on procède pour calculer une dérivées partielles dans ce cas on va considérer tout l'été à monter comme des constantes alors ce que je vais faire c'est que je vais recopier ma fonction ici puisque on pourra la voir sous les yeux en même temps ça nous aidera donc je vais copier ça bon bah voilà je vais copier ça ici comme ça on aura ça sous les yeux donc on a dit tous les termes hanté sont des constantes puisque on fait là dérivées partielles par rapport à s donc ici caussinus de thé et bien c'est une constante donc ça ça ne bouge pas ça ne varie pas par rapport à s es là dérivées partielles de cosinus de s par rapport au reste eh ben c'est moins sinus tu es donc on va écrire ça on va avoir moins caussinus de thé - caussinus de thé qui ne bouge pas on a dit c'est une constante fois-ci news tu es pour asinus de s fois le vecteur unitaire y voit là pour ça ensuite pour la composante d y est bien même chose caussinus de thé et c'est une constante ça ne bouge pas et là dérivées partielles de sinus de s par rapport à s et bien c'est caussinus de s on a donc plus caussinus de thé x caussinus de s fois le vecteur unitaire j ai enfin pour la composante des aides on assainit us de thé c'est juste une constante puisque ont dérivé six par rapport à s est donc la dérivée d'une constante c'est zéro ça ne varie pas par rapport à s donc je vais écrire ça je vais écrire +0 fois le vecteur unitaire cas et on est plutôt content d'avoir un zéro ici puisqu'on sait que ça va quand même nous arranger quand on va faire notre produit vectorielle maintenant on fait la même chose par rapport à tes cette fois donc le la dérive et partielle de la fonction à valeur vectorielle deux positions par rapport à tes maintenant ce sont les termes en est ce qu'ils sont des constantes donc caussinus de s c'est une constante dérivées partielles de cosinus de thé par rapport à tes c'est moins sinus de thé on a donc moins sinus de thé x caussinus de rs x caussinus tu es fois le facteur unitaire y ensuite ici qu'est ce qu'on asinus de s est une constante caussinus de thé et bien même chose la dérive et de cosinus de tessé moins sinueuses du thé donc moins sinus de thé x 6 nuls deux os x le vecteur unitaire j ai enfin ce dernier terme la dérivées partielles de sinus de thé par rapport à tes et bien c'est caussinus de thé donc plus caussinus de tréfois le vecteur unitaire cas maintenant on est prêt pour calculer le produit vectorielle de ces deux dérivées partielles qui sont des vecteurs alors on s'attaque à ça tout de suite donc le produit vectorielle de la dérivées partielles de r par rapport à s et de la dérivées partielles de r par rapport à tes et là je vais tracer une grande matrice enfin c'est juste une matrice trois par trois mais qui prend beaucoup de place puisqu'on veut faire rentrer tout ça donc et on sait que le produit vectorielles et bien c'est le déterminant de cette matrice donc j'espère que là j'aurai assez de place alors je vais commencer par mes vecteur unitaire sur la première ligne enfin c'est la méthode que j'aime bien utiliser pour le produit vectorielle de vecteurs en trois dimensions donc le vecteur unitaire y le vecteur unitaire j ai le vecteur unitaire cas et maintenant je remplis ma matrice la deuxième ligne c'est les composantes x y et z de notre premier vecteur or je vais garder les mêmes couleurs - caussinus de tréfois sinus de s en suit plus caussinus de thé caussinus de s et puis ici on a zéro tu vas voir que ça va bien nous simplifier les calculs et enfin sur la troisième ligne eh bien ce sont les composantes x y et z de notre deuxième vecteur et je te conseille vraiment d'essayer faire ça toi même si tu sais déjà où on va d'ailleurs même si tu veux faire ça avec moi dans un premier temps très bien ensuite je te conseille d'essayer par toi même parce que c'est toujours un bon entraînement ça ne fait jamais de mal donc ce deuxième vecteur - sinus de thé caussinus deux aces - sinus de thé sinus de s est enfin caussinus de thé et maintenant on cherche le déterminant de cette matrice alors d'abord on va s'occuper de la composante associés aux vecteurs i pour ça on raye cette ligne et cette colonne et on calcule le déterminant de cette sous matrice ici donc ça nous donne le vecteur ifois alors on a l'habitude d'avoir le vecteur écrit noté après 1 mais bon on peut changer ça plus tard ça pas beaucoup d'importance donc fois le déterminant de cette matrice de deux ici qu'est ce que c'est bien c'est ce terme fois ce tm - ce terme fois ce terme alors on a continué de tréfois caussinus 2es fois caussinus de thé et bien c'est caussinus au carré de thé x caussinus ds et ensuite on a moins 0 x - sinus de tréfois sinus tu es bien c'est zéro ensuite on passe à la composante associés aux vecteurs j mais attention rappelle toi quand on cherche le déterminant d'une matrice 3 3 eh bien on a moins bien ça fait plus - plus donc on a moins le vecteur j x alors on rails cette ligne et puis cette colonne fois le terreau déterminant de la matrice composé de cette colonne et de cette colonne c'est donc ce terme fois ce témoin ce terme fois ce terme on a encore 0 c'est pas mal donc ça va simplifier tout ça - caussinus de tréfois sinus d'os x caussinus de thé et bien c'est moins caussinus au carré de tréfois sinus de s ensuite on a moins 0 x - sinus de thé et caussinus tout s est bien c'est assez 0 et puis là on a moins par mois et bien on peut directement transformé ça en plus et enfin on à la composante associés aux vecteurs cas et là ça risque d'être un petit peu plus long donc je vais faire c'est que je me faire de la place comme ça puisque cette fois on n'a pas de on n'a pas de zéro pour simplifier le calcul du déterminant de l'asu matrice donc on raye cette ligne et on raye cette colonne et alors on a ce terme fois ce terme donc moins caussinus testing us foix - sinus de taissy news 13h45 - déjà ça fait plus con sinus de tréfois sinus de thé donc caussinus de tréfois sinus de thé x simus au carré des os x sinus au carré deux aces - caussinus de thé caussinus de s facteur 2 - sinus de teko smith 2 es donc ce produit là le produit de ce terme fois ce terme est négatif moins par mois ça fait plus donc on a plus caussinus de thé sinus de thé caussinus carré de l'ess et voilà pour ça voilà notre produit vectorielle ce produit vectorielle nous amène à ce vecteur ici maintenant on va essayer de simplifier ça ça va nous aider d'avoir des couleurs comme ça on à l'été a monté de cette couleur les termes aurès de cette couleur-là et déjà on voit que ici on peut factoriser par caussinus de thé sinus de terrain puisque dans ces deux expressions on a caussinus de thé sinus du thé donc je vais écrire ça on peut factoriser ça je garde toujours mes couleurs on a caussinus de thé sinus du thé facteur de sinus au carré de s plus caussinus carré de s est là qu est ce qu on reconnaît et bien ce qu'il y a entre parenthèse ici ça fait 1 c'est une identité trigonométriques donc ça se simplifient ça ça fait 1 et de toute cette expression il nous reste caussinus de des fois sinus d'été alors ça simplifie bien notre produit vectorielle ce que je vais faire c'est que je verrai rires ça donc le produit vectorielle de nos dérivées partielles c'est égal à caussinus carré de thé caussinus carré de thé caussinus de s voit le vecteur unitaire y plus caussinus carré de thé sinus de s fois le vecteur unitaire j ai enfin ce qu on a simplifié ici donc plus qu aux sinuosités sinus de thé voit le vecteur unitaire cas voilà pour ça mais on n'a pas encore terminé maintenant on veut la norme de ce produit vectorielle puisque rappelle toi on cherche à exprimer des sigma en fonction de hesse et de thé et ça c'est la norme de ce produit vectorielle fois ds d'été donc on va faire ça et je compte sur toi pour surveiller que je ne fait pas d'erreurs d'inattention puisque ce serait bête d'en arriver là et de faire une faute d'inattention donc la norme de ses produits vectorielle un énorme du produit vectorielle de nos deux dérivées partielles c'est égal à la racine carrée de cette somme au carré donc on va mettre tous les termes de cette somme au carré allez c'est parti d'abord caussinus à la puissance 4 de tréfois caussinus au carré de s plus aux sinus à la puissance 4 de tréfois sinus au carré de hesse et j'espère que tu vois déjà ce qu'on va pouvoir simplifier ici hein enfin plus caussinus au carré de thé sinus au carré 2 t on a dit qu'on peut simplifier ici qu'est ce qu'on peut simplifier on peut factoriser par ces deux termes par caussinus à la puissance 4 de thé donc on va faire ça on va simplifier ça on a donc caussinus à la puissance 4 de thé x caussinus caresse plus sinus carré de s plus caussinus carré de thé sinus carré de thé est alors encore une fois notre identité trigonométriques sa savoie inde et tout ce qui lie à sous la racine ici ça se simplifient caussinus à puissance 4 de thé plus caussinus au carré de thé x sinus au carré 2 t et on peut encore factoriser on peut encore factoriser par caussinus au carré de thé donc on va faire ça caussinus au carré de thé facteur de cosinus au carré de thé plus sinus au carré de thé alors tout ce que je fais ici hein c'est simplifier ce qu'il ya sous la racine en est d'accord on a bien cette grande racine sy siens à bien cette grande racing comme ça d'accord et donc là qu'est ce qu'on remarque est bien encore une fois notre identité trigonométriques ça ça fait 1 et là c'est encore une telle simplification parce que tout ça ça se simplifie en racine carrée de cosinus au carré de thé et racine carrée de cosinus au carré de thé qu est ce que c est bien ça se simplifient c'est tout simplement égal à au sinus de thé alors si on en revient à ce qu'on cherchait si on ne revient à ce qu'on cherche et on cherchait des sigma et bien c'est donc caussinus de t d est était alors je vais écrire ça en dessous comme ça on va pouvoir utiliser ça dans la vidéo suivante donc des sig mas ségala caussinus de tds d'été