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Exemple sur les intégrales surfaciques, partie 3: dernière ligne droite

Utilisation de quelques identités trigonométrique pour calculer la valeur d'une intégrale surfacique. Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Patrick Müller
    Bonjour,dans "Exemple de calcul d'une intégrale surfacique troisième partie", ou est le début de la vidéo svp? merci de votre réponse.
    Patrick Müller
    (1 vote)
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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente rappelle toi on a exprimé des sigma en fonction de nos paramètres s était et à partir de là on n'est plus très loin de pouvoir calculer notre intégrale de surface mais avant ça j'aimerais revenir sur le résultat de la vidéo précédente pour apporter une petite précision sur quelque chose qui d'ailleurs a peut-être déjà attiré son attention alors à la fin de la vidéo précédente on a calculé la racine carrée de cosinus au carré et de thé et on a simplifié sa en caussinus t es là tu t'es peut-être dit attends si ici caussinus t est négatif caussinus au carré de thé ça devient positif est la racine carrée et de cosinus au carré de thé s'adonne caussinus t c'est à dire la valeur absolue de cosinus t mais nous on a écrit caussinus t pourquoi et bien c'est parce qu'on sait que notre paramètres t est compris entre - pis sur deux et pis sur deux et pour ses valeurs de thé caussinus t est toujours positif dans le premier et le quatrième cadran ici dans notre configuration et bien caussinus t est positif et c'est pour ça qu'on n'a pas besoin d'écrire la valeur absolue ici de cosinus t1 ça suffit d'écrire caussinus tu es simplement puisque dans notre problème on vient de dire caussinus t est toujours positif et ça ça vient de notre paramétrisation de thé maintenant je crois qu'on est prêt pour calculer notre intégrale de surface juste pour rappel ont cherché à calculer l'intégrale de surface de x au carré des sigma alors on connaît des sigma monde trouvait ça dans la vidéo précédente il nous reste à exprimer x au carré en fonction de nos paramètres s était on a déjà fait la paramétrisation de x ici c'est notre paramétrisation ici c'est la composante dx donc x et caussinus t caussinus s on va écrire ça x qui est une fonction de nos paramètres s était c'est caussinus t caussinus s et nous on veut l'intégrale de surface de x au carré des sigma un donc x au carré c'est caussinus au carré de thé caussinus au carré 2 ensuite on a des sig massé cette expression ici donc caussinus tds d'été et maintenant qu'on a cette expression en fonction de nos paramètres et là on a les différentiels ds d'été et bien cette intégrale de surface devient une intégrale double par rapport à nos deux paramètres s était alors pour s on intègre de zéro à des pays et porter on intègre 2 - puis sur deux appuis sur deux alors ce que je vais faire c'est que je vais garder les mêmes couleurs que dans la vidéo précédente pour bien différencier les termes en s il était remonté d'abord ici on a ds en premier ça veut dire qu'on va intégrer par rapport à un ace en premier et on a dit on a dit que s est compris entre 0 et 2 bis ensuite on intégrera le résultat de cette première intégration par rapport à tes et on a dit que tu es un de moins puis sur deux a pis sur deux on peut peut-être simplifiée ça c'est égal à l'intégrale double sur cette même région sur le domaine de définition de nos paramètres qu'on va appeler des donc qu'est-ce qu'on a ensuite par rapport à t on à caussinus au carré de tréfois caussinus de thé on peut regrouper ça en interne caussinus cubes de thé x caussinus carré de sds d'été alors ici on a le produit d'un terme hanté faut un terme en s et on a dit qu'on allait intégrer par rapport à s d'abord donc ce terme ici caussinus occupe de thé et bien on va considérer ça comme une constante d'accord donc on peut faire sortir sa de l'intégrale on a donc l'intégrale de moins puis sur deux appuis sur deux de cosinus cubes de thé fois l'intégrale de zéro à deux pays de cosinus carré de sds dt et on peut encore simplifiée ça parce que regarde cette intégrale extérieur c'est le produit de ce terme fois l'intégrale par rapport à s et ce thème ici cette intégrale par rapport à ces biens est indépendante dotée donc bien sûr on peut aussi faire sortir sa de l'intégrale extérieur donc je peut réécrire ça c'est égal à l'intégrale de moins puis sur deux appuis sur deux de cosinus cubes de tdt fois alors là je ne fais rien d'autre que de réorganiser cette expression ici on n'est pas obligé de faire ça on aurait aussi pu calculer cette intégrale double quand on l'avait sous cette forme ici mais je trouve qu'en faisant cette réorganisation ça simplifie la résolution et ça nous évite surtout de nous embrouiller avec nos fonctions trigonométriques un donc fois l'intégrale de 0 à 2 piteux caussinus carré de sds est donc pour résoudre ça on a besoin de nos connaissances en trigonométrie alors on va commencer ici caussinus au carré de s eh bien on sait que c'est la même chose que 1/2 plus un demi fois caussinus de 2s maintenant caussinus occupe de thé bien on peut commencer par faire sortir un caussinus de thé donc on a caussinus t caussinus carré de thé et l'idée c'est d'essayer de faire apparaître le produit de cosinus et de sinus parce que on sait que caussinus c'est la dérive et de sinus donc on peut faire un changement de variable quand on a une fonction fois ses dérivés on peut considérer la fonction comme une variable et c'est ce qu'on aimerait bien faire ici ça tombe bien on sait que caussinus au carré de tessé en moins sinus au carré de thé donc on peut réécrire sa caussinus de thé x 1 - sinus au carré de thé on distribue caussinus de t on à caussinus de thé - caussinus t sinus au carré 2 t et là tu te dis peut-être que ce qu'on avait au départ ça avait l'air quand même plus simple lors c'est sûr mais c'est plus facile de calculer une primitive de cette expression ici alors c'est sûr pour caussinus de thé mais aussi caussinus tennis au carré de thé puisqu'ici on à la dérive et de sinus de t1 c'est caussinus tu es donc on peut faire un changement de variables tu peut déjà imaginer ce que ça va donner donc on va réécrire tout ça au propre tout ça c'est égal à l'intégrale de moins puis sur deux appuis sur deux de cette expression ici puisque c'est égal à ce qu'on a là donc caussinus témoins caussinus des sinus au carré de thé je n'oublie pas les parenthèses d'été fois l'intégrale de 0 à 2 pi de ce qu'on a ici donc 1 2 me +12 mille fois caussinus deux sdf maintenant on calcule nos primitive alors on commence ici une primitive de cosinus de thé bien ses sinus de thé ensuite la dérive est ici de sinus de tessé caussinus de thé donc on va considérer sinus de thé comme une variable par exemple comics est donc une primitive de ça qu'est ce que c'est alors d'abord on a ceux - ici - alors maintenant si à la place de sinus son carré de thé en avez x o car est ici bien une primitive de sa cx au cube sur trois d'accord et parce que la dérive et de sinus de thé bien c'est qu'au siège de thé ici on peut considérer et sinus t comme une variable c'est-à-dire ont fait un changement de variables dans notre tête et ça nous donne sinus au cube de thé sur trois voilà notre primitive qu'on évalue bien sûr entre - puis sur deux et puis sur deux donc d'abord pour tes égale pis sur deux on a sinus depuis sur deux c1 - donc en occupe c'est un sur trois donc moins un tiers - cette expression l'acompte tvo - puis sur deux sinus de moins puis sur deux c'est moins 1 - 1 - - au cube - 1 - 1 sur 3 - un tiers donc moins un tiers on simplifie tout ça en moins tiers ces deux tiers - un mois moins un tiers c'est moins plus entière - 2/3 - - 2/3 plus des tsa c'est égal à 4/3 donc toute cette intégrale ici se simplifie en 4/3 maintenant on s'attaque à cette intégrale donc une primitif de 1/2 c'est un demi fois est ce maintenant une primitif de cosinus de deux aces qu'est ce que c'est alors on va faire ça à part rapidement ici donc une primitive de cosinus de deux sdf on aimerait bien avoir un deux devant pour avoir ici il a dérivé de deux aces mais on peut pas faire ça simplement tout cela il faut ajouter un demi comme ça va il faut multiplier par un demi pour ne peut pas changer la valeur de l'intégrale n'est ce pas donc une primitive de ça et bien ses sinus de deux aces mais il ne faut pas oublier le 1/2 devant d'accord alors on aurait plus une constante si on cherchait une intégrale indéfini mais l'aïe dans ce cas on a une intégrale définit donc on ne s'occupe pas de la constante donc une primitive de cosinus de 2 sc 1/2 fois sinus de deux aces et on a su 1/2 ici donc on n'a plus un demi fond et demi un quart sinus de deux aces voilà notre prime était bien sûr entre 0 et 2 pi et pour ces deux valeurs de s et bien ce terme-là vos héros insinue ce 2-0 et bien c'est zéro sinus de deux fois depuis donc sinus du 4 co-60 donc on a en 2000 x 2 pi cpie plus un cas rare fois ci news24 pis donc zéro plus zéro - cette expression quand est-ce vos héros donc 1,2 mille fois 0-0 plus un quart fois-ci nul 0 0 donc c'est tout simplement pis donc cette intégrale ici vos pieds et on a terminé on vient de résoudre notre intégra de surface qui est égal à 4/3 fois pis alors où est ce qu'on a commencé où est notre intégrale de surface de départ tout en haut voilà ici donc cette intégrale de surface vaud 4/3 fois puis voilà notre résultat après tous ces efforts je te laisse te reposer un petit peu et on se retrouve dans la prochaine vidéo pour résoudre une autre intégrale de surface