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Déterminer l'expression d'une fonction vectorielle pour une paramétrisation avec deux paramètres

Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a commencé à parler de la paramétrisation dans thor ou dans deux notes si tu préfères et on a vu que pour ça on avait besoin de deux paramètres alors on s'est contenté de visualiser les choses on n'a pas fait de maths mais la visualisation c'est probablement ce qui est le plus difficile et on a vu que quand on prend n'importe quel point du tort on peut faire pivoter ce point comme ça autour d'un cercle alors ça pourrait être n'importe quel cercle 1 ici on est on à un cercle dans le plan au y z 1 et c'est le paramètre est ce qui nous indique de combien est-ce qu'on a pivoté sur ce cercle est donc on a vu que s est compris entre 0 et 2 pi mais ce n'est pas tout puisque ça ça ne suffit pas pour définir un tort on va aussi faire tourner ce cercle autour de lax tête le centre du cercle ici sera toujours à la distance b du centre du tort de l'origine et on voit bien ça sur cette vue et si on regarde notre donuts d'en haut on regarde au dessus de notre donuts et donc on voit bien que la distance du centre du cercle qui est ici au centre du donneur centre du tort ce sera toujours b et donc ce deuxième paramètre tu es ici nous indique de combien est-ce qu'on a tourné autour de lax dz était et bien sûr lui aussi compris entre 0 et 10 ensuite on a essayé de visualiser ce qu'il se passe lors de la paramétrisation ici c'est le domaine de définition de nos paramètres s est compris entre 0 et 2 pi était est aussi compris entre 0 et 2 pi quand tu es vos héros on n'est pas sorti du plan aussi greg est on est dans le plan eau et y z et quand est-ce vos héros on est sur la kz2 y ici et au fur et à mesure que s augmente on dessine ce cercle comme ça jusqu'à st gall 2 pi ensuite quand et vos pieds sur deux on a déplacé ce cercle autour de lax dz jusque là et donc ce segment là du domaine de définition de nos paramètres correspond à ce cercle à ce cercle jaune dans notre espace en trois dimensions bon maintenant qu'on a revu tout ça on va voir comment à partir de là est-ce qu'on peut définir une fonction à valeur vectorielle de position qui correspondent à cette paramétrisation l'a d'abord on va s'occuper du z parce que c'est le plus simple alors bien sûr x y et z doivent être des fonctions de s est dotée de nos paramètres c'est le but de ce qu'on fait là un ses buts de tous à n'importe quelle position sur notre surface dépend du choix de s et deux têtes d'ailleurs on va voir ça avec quelques points alors par exemple ce point ici ça correspond à cette position là d'accord on va voir ça avec notre point ici s vos héros donc on n'a pas du tout bougé sur le cercle tvo deux pays donc ça correspond à ce point là on est sur le contour externe du donneur puisque s vos héros ensuite on a ici ce point là s vos pieds sur deux étaient vos pieds sur deux donc on est ici c'est pas très bien dessinés mais j'espère que tu arrives à me suivre et enfin je vais placer un dernier point pour que ce carré soit complet donc ici ce point là tvo 0 donc on est dans le plan au y accèderont n'a pas pu voter au tour de lax des aides et s vos pis sur deux donc on a parcouru un quart de cercle donc on est ici donc tout père est et nous donne une position sur notre tort dans l'espace x y z et donc no x nom y est n'osait dof bien être des fonctions de s est dotée et j'ai dit qu'on allait commencer par les aides ce qui ne devrait pas être trop compliqué donc z c'est une fonction de s est doté de deux paramètres et l'ours est égal à quoi rappelle-toi sc l'angle entre le rayon du cercle entre un rayon du cercle et le plan au x y enfin si on veut être un peu plus rigoureux on devrait plutôt dire la projection orthogonale du rayon de soleil on dans le plan aux x y je peux dessiner ça ici c'est le centre de mont cercle voilà un rayon est donc cet angle là ici et bien c'est notre angle s en fait je vais dessiner ça apparaît on va faire un petit peu de trigonométrie jeter c'est un petit peu pour me faire de la place donc j'ai mon cercle j'ai mon cercle comme ça et cet angle là ici et bien c est ce on sait que le ce rayon là c'est qu'un rayon du cercle et de longueur ah d'accord et donc aide et bien z c'est cette distance là c'est la distance entre ce point du cercle et le plan ou xy c'est cette distance là ici c'est notre aide d'accord ça c'est de la trigonométrie de base on sait que le sinus de notre anglais laisse donc sinus tu es c'est égal à la longueur du côté opposé donc ici le côté opposé c'est ce qu'on cherche ses aides sur la longueur de l'hypoténuse l'hypothénuse ici c'est à et donc si ça ça ne t'ai pas familier je te propose de regarder les vidéos sur la trigonométrie d'accord donc on multiplie de chaque côté parra et on obtient à foix sinus de s est égal à z et voilà notre z ça nous dit à quelle distance on se trouve du plan au x y pour n'importe quel point de notre tort donc on peut réécrire ça ici z qui est en fait seulement une fonction de s non c'est normal puisque ça ne dépend pas de la rotation autour de lax dz d'accord donc c'est égal à a fois sinus de s d'accord tout ce qui compte pour z pour la cour donnait z eh bien c'est la rotation autour de ce cercle là d'accord quand est-ce vos héros on est dans le plan au x y mais dans le plan au x y et donc z vos héros et on peut être donc tout autour du contour extérieur quand est-ce maintenant vous pisse sur deux on exactement aa au dessus du plan au x y goz voa on est tout autour du dessus du tort voilà pour zen tu vois c'était assez simple maintenant voyons ce qu'on peut faire pour x et y et pour ça on va se servir des vues de la vue du dessus du donneur on va se servir de ces de vue là hein on regarde notre donuts notre tort dans alors d'abord on va réfléchir à si on projette un point d'un cercle sur le plan aux x y à quelle distance et se projeter de l'origine alors déjà on sait que le centre de chacun de ces cercles et à la distance b de lax des aides donc cette distance-là entre lax dl l'origine et le centre de chacun de ces cercles on sait que c'est la distance b alors je reviens à mon cercle à ce que j'ai dessiné ici hop ça ça peut être n'importe quel cercle 1 on est d'accord donc là on à laax des êtres continue un petit peu donc ça assez l'axé z et donc on sait que cette distance là je vais faire sans une couleur en fait pas une très bonne idée de garder la même couleur donc on sait que cette distance-là entre lax des aides et le centre de mons est requis si on sait que cb mais alors qu'est ce que c'est que cette distance là qu'est ce que cette distance là on sait que la kz dz on sait que de lax des aides au centre du cercle cette distance la cb mais pour déterminer la distance du projeté orthogonale dans le plan au x y d'un point d'un cercle à laax des aides on a aussi besoin de connaître cette distance là et ça ça dépend de l'angle est ce donc on a trouvé que z c'est égal à la fois cynique de s et puis sept longueurs là ici c'est à foix caussinus de s donc maintenant on sait que cette distance là je vais faire ça en pleut on sait que toute cette distance là et bien c b plus à foix caussinus tu es donc c'est la distance direct entre le projeter orthogonale dans le plan au x y d'un point du cercle et l'origine c'est b plus avoir caussinus de s donc quand le rayon est ici quand notre rayon de longues heures à est ici et bien caussinus de s est négatif et donc cette distance-là cette distance là va être inférieure ap c'est logique donc maintenant si on regarde notre tort d'en haut si on regarde notre tort d'en haut et bien cette distance là cb et disons qu'on est ici sur notre cercle est donc toute cette distance là du centre du tort à notre point ou projetés orthogonale de notre point dans le plan au x y et bien on vient de dire c'est b plus à foix caussinus de s ça sera toujours pour n'importe quel point du donneur ça sera toujours bplus à caussinus de s maintenant si on regarde ici si on a un point disons si on a un point ici alors cette distance là on vient de le dire cette distance là c'est b plus à caussinus tu es d'accord c'est la distance entre le projeter orthogonale dans le plan ou xy de n'importe quel point d'un cercle et l'origine à partir de laquelle sont les coordonnées x et y de ce point là rappelle toi là on regarde le tort d'en haut d'accord donc quels sont les coordonnées x et y de ce point et bien pour trouver ça on fait à nouveau appel à nos connaissances en trigonométrie on va dessiner un triangle rectangle là je descends tout droit comme ça et on sait que cet angle là c'est ce qu'on a écrit si on sait que cet angle là c'était est donc cette langueur là ce que je viens de dessiner ici cx d'accord je peux écrire ça x qui est aussi une fonction de hesse et de thé évidemment c'est égal à sinus de cet angle-là sinus de thé fois cette distance là et on a dit cette distance la cb plus à foix caussinus des stocks x p plus à foix caussinus de s et on voit bien que cette coordonnées x dépens de hesse et de thé 1x dépens de x donc cette distance-là dépend de la position de notre point sur le cercle et de la rotation autour de lax dz tiens d'ailleurs la façon dont j'ai décrit tout ça ça correspond plutôt un espace où ici alors ici on aurait les zdx pardon positif donc xxi ici c'est les x positif et ici c'est les x négatif 1 j'espère que ça me tombe rouille pas ça dépend de si on utilise un repère direct ou si tu préfères main droite ou bien un repère comme ici indirects ou main gauche un pareil ici sous cette perspective là avec ce que j'ai décrit ici on a plutôt ici les x positifs qui vont dans ce sens un ici selick son nez dans les xe négatif ici celle x positif bon j'espère que ça ne t'empêche pas de saisir l'idée cette distance-là ici c'est b plus à foix caussinus de hesse et on a trouvé ça en regardant une section du tort que j'avais dessiné plus bas ici donc c'est la distance d'un point ou du projeté orthogonale d'un point dans le plan au x y et lax des aides et à partir de là si on veut la coordonnées x de ce point eh bien on multiplie par sinus de thé on a trouvé ça en regardant le tort d'en haut et donc d'après le triangle qu on s est bien là coordonnées grec c'est la longueur de ce côté là c'est la longueur de ce côté là et donc y est aussi une fonction de hesse et de tct gala le cosinus de cet angle là donc caussinus de thé fois ce rayon l'a donc x b plus à caussinus deux aces alors je vais recopier ses coordonnées je vais recopier ça sous notre aide comme ça on a tous à la suite donc on a là coordonnées x qui est une fonction de hesse et de thé c'est égal sinus de thé x b plus à caussinus de s est ensuite on avait y qui est une fonction de hesse et de tct gala caussinus de thé x b plus à caussinus de s est donc on a terminé avec notre paramétrisation on pourrait laisser ça comme ça où on peut aussi définir sa commune fonction vectorielle de position alors d'ailleurs je vais faire ça tout de suite je vais choisir une jolie couleur pour ça on va choisir du rouge alors air qui est une fonction de hesse et de thé nos deux paramètres c'est égal à alors là coordonnées x d'abord je vais écrire ça dans cet ordre là d'abord b plus à caussinus de s fois sinus de thé et donc ça ça va dans le sens du vecteur lit du vecteur unitaire il alors rappelle toi on a dit que l' axe des x on a dit que dans notre cas de figure l'acce dxva dans cette direction alors la cx positif et là c'est les x négative 1 pour que ce soit cohérent avec ce qu'on a fait juste là donc notre vecteur unitaire y notre vecteur unitaire y est ici dans cette direction là ça c'est le vecteur unitaire et ensuite on a plus la composante selon le vecteur j c'est-à-dire la coordonnées y alors b plus à aux sinus tu es foire caussinus de thé et ça c'est dans la direction du vecteur j et donc notre vecteur j notre vecteur unitaire jc le vecteur unitaire l'accès y voilà notre vecteur unitaire j ai enfin on alla coordonnées z dont c'était la plus facile à trouver plus à foix sinus de s fois le vecteur unitaire cas est le vecteur unitaire casser le vecteur unitaire dans la direction des aides c'est ici celui ci ça c'est le vecteur unitaire cas à partir de là on peut choisir n'importe quel point n'importe quel père est et de ce domaine de définition la substituer sa dans cette fonction vectorielle de position et ça nous donne le vecteur position qui nous indique le point correspondant du tort alors on va tout de suite essayé ça pour être sûr que tu es bien compris par exemple par exemple ce point là ici ce point là où s étaient valent tous les deux pays sur deux ça nous donne avec notre paramétrisation si on rentre ça dans notre fonction vectorielle de position on aère de pi sur deux pistes sur deux c'est égal à alors caussinus depuis sur deux c'est 0-1 c'est caussinus de 90 degrés c zéro donc on a ici p + 0 donc b ensuite sinus de pi sur de tvo pied sur deux aussi sinus depuis sur deux c'est un donc là il nous reste des fois un fois le vecteur unitaire y donc on a b x le vecteur y plus alors ensuite pareil si caussinus du pi sur deux c'est zéro on a donc des skis entre parenthèses si cb caussinus de pi sur deux c'est zéro db x 00 +0 fois le vecteur unitaire j ai ensuite sinueuses de pi sur deux c1 on a donc plus à foix le vecteur unitaire qu'a donc on ne se déplace pas du tout dans la direction du vecteur unitaire dis donc ça c'est égal à zéro ça c'est égal à b x y est le vecteur unitaire y plus à foix le vecteur unitaire cas et donc avec cette paramétrisation là on obtient ce vecteur la b x y plus à foix cas et si on place ça dans notre espace b x y ça nous emmène ici d'accord c'est ce vecteur la paix fois il nous emmène ici ensuite à foix cas ça nous emmène jusqu'ici à foix cas ça nous emmène jusque là et donc le vecteur position convient de définir ici et bien c'est celui là le vecteur position convient de définir à l'aide de notes paramétrisation c'est celui là est donc ce point-là correspond à ce point là à l'extrémité finale de notre vecteur position alors bien sûr j'ai choisi un point facile à calculer mais tu prends n'importe quel père s était de ce domaine là et à l'aide de la fonction de la fonction vectorielle de position qu'on a défini ici eh bien tu peux transformer cette paire de notre domaine des films de définition de s était en un point de notre tort d'un point de notre surface alors évidemment ici je devrais précisé que s est compris entre 0 et 2 pi était est aussi compris entre 0 et 2 puis alors on n'a pas vraiment besoin du signe égal de chaque côté ici ici hein mais bon ça ne change pas grand chose alors voilà pour ça j'espère qu'avec tout ça tu saisis bien l'idée de la paramétrisation d'un tort et c'est vraiment important que tu te sens tu à l'aise avec tout ça parce qu'on va s'en servir quand on commencera à parler d' intégrale de surface est le plus difficile c'est de bien visualiser ce qu'il se passe