Paramétrer une surface - Introduction

tout ce qu'on a pas à maîtriser jusqu'à maintenant c'est une courbe à l'aide dans paramètres est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est par à maîtriser une surface dans un espace à trois dimensions à l'aide de deux paramètres on va commencer par part à maîtriser un tort un tort si tu préfères c'est comme un donneur tout une bouée une chambre à air c'est ce qui ressemble à quelque chose alors je vais essayer de dessiner du mieux que je peux un tort ça ressemble à quelque chose comme ça à l'intérieur il y a un trou comme ceci ici on peut mettre un peu d'ombré et puis on peut mettre un peu d'ombré ici aussi et donc voilà un tort ça ressemble à quelque chose comme ça mais alors comment est ce qu'on construit ça en utilisant deux paramètres bien ce qu'on veut faire d'abord c'est visualiser ce donuts dans un espace à trois dimensions avec nos axes alors lax des aides c'est celui qui va de haut en bas comme ce donneur est un petit peu inclinée on voit aussi incliné notre axe donc lax dz passe par le centre du donneur et le centre du tort comme ça ici c'est l'accès des aides qu'ils continuent comme ça aussi de l'autre côté ensuite qui sort par là on à laax alors et traverse à travers le d'honnête et sort par là ici c'est la kz dx et puis de l'autre côté même chose qui traverse le donut comme ça et ça repart là c'est l' axe d y est maintenant situé imagine une section de ce donuts dans le plan aux x z alors ici c'est au 1 c'est le centre du domaine c'est l'origine de l'espace et donc ici c'est le plan os x z donc si on tranche le donut dont le plan aux x aide eh bien on a quelque chose on a quelque chose comme ça ça c'est une tranche du donneur temps le plan os x z maintenant si on coupe ce donneur dont le plan aussi greg z qui est ce plan là eh bien on a une tranche on a une section du donneur comme c'est si ça c'est une section du donneur dans le plan on y z et on peut découper des tranches des sections du donneur comme ça tout autour et donc en fait se donne est c'est juste plein de tranches plein de cercle comme ça tout autour de lax dz et si on arrive à bien visualiser ça comme ça ça va beaucoup nous aider à avoir l'intuition de commander un parent à maîtriser ce genre de surface alors je vais commencer par dessiner un peu plus nettement le plan au y z donc ici on à laax des aides ici on à laax t y puis si on a le point haut et disons que quand on tranche cette surface du tort par rapport au plan au y z et bien le centre de cette coupe le centre de ce cercle et sur l' axe d y donc le centre de cette section et sur l'accès des y donc on a ici le centre de ce cercle là et izon que cette distance là disons que cette distance-là entre le centre du tort trop le centre du donuts et le centre de ce cercle là le centre de cette tranche et bien c b d'ailleurs cette distance là aussi c b1 toutes les distances entre le centre du tort et le centre de chaque tranche ça sera toujours au b donc si tu imagines se tord vu d'en haut voilà en fait je vais dessiner ça si on imagine ce tort vu d'en haut on a quelque chose comme ça encore une fois je fais mon mieux pour dessiner quelque chose de régulier on a le trou au milieu et puis on a ici qui sort par la sors de ton écran c'est l' axe d aide par en bas on à laax dx et puis ici on malaxe d y est donc là c'est comme si on était assis sur l' axe des aides et qu'on regardait vers le bas on verrait donc se donnant comme ça on va ce tort comme ça et donc une section de ce tort une section de ce donuts vu d'en haut ça ressemble à quelque chose je change de couleur ça ressemble à quelque chose comme ça hein ce cercle ici ce cercle la vue d'en ho fuite sous cette perspective là et bien c'est cette partie là est donc cette distance-là entre lax des aides ou plus précisément le centre du tort et le centre de chacune de ces sections et bien c'est cette distance là ici on a le centre de la tranche 6 et le centre du torse et l'accès y est c'est donc cette distance-là cette distance là cb et tout autour ça va être la même chose cette distance là aussi c b ici aussi cb est ici c'est encore la distance b la distance entre le centre du tort et le centre du cercle qui définit ce tort c b donc cette distance-là entre le centre du tort donc l'axé z et le centre du cercle qui définit le tort donc le centre de chaque tranche et bien cb et à partir de baies à partir de ce point là on a un rayon de longues heures à main rayons comme ça deux longueurs à et donc ces cercles sont de rayon à cette distance la c1 cette distance-là ca ici c'est aussi à de ce côté ca etc etc si on regarde maintenant ce dessin là et bien ces cercles sont aussi de rayon a donc cette distance là c'est à cette distance là c'est à issy ca etc etc à partir de là on a deux paramètres le premier c'est l'angle entre ce rayon et le plan os x y alors on imagine que l'axé x alors je vais dessiner ça on imagine que l'axé x sort comme ça ici c'est la kz dx est donc là c'est le plan au x y et donc notre premier paramètre c'est l'angle formé par le rayon et le plan au x y donc on va appeler cet angle on va appeler ce paramètre on va l'appeler s est donc s est compris entre 0 et 2 pi et donc quand est-ce vos héros et bien on est ici et en augmentant s est bien ça nous permet de tracer un cercle comme c'est pas très régulier mais tu sais il y des bons ça c'est un premier paramètre mais ça ne suffit pas pour définir notre tort il faut maintenant qu'on fasse tourner ce cercle tout autour de lax dz ce que je viens de dessiner ici quand on regarde sur cette perspective là quand on regarde notre tort d'en haut et bien ce que je viens de dessiner ici c'est simplement cette section là c'est cette tranche du tort et maintenant ce qu'on veut c'est faire tourner ce cercle tout autour de lax des aides et pour ça on va définir un autre paramètre alors je vais dessiner à nouveau cette perspective là parce que là ça commence à devenir un petit peu brouillon je vais descendre pour me faire un petit peu de place et d'ailleurs tu vois que dans un premier temps il s'agit de bien visualiser les choses alors je dessine à nouveau mais sachs ici on à laax dx ici qu'ont à laax d y est donc dans ce cas de figure est bien on est sur la queue ce day1 on a le centre de notre cercle ici qui est sur l'accès y est qui est la distance b de lax dz donc cette distance là c'est la distance b et ici on à laax des aides qui sort on ne le voit pas il sort de l'écran par là et nous c'est comme si on était assis sur cet axe et on regarde notre surface d'en haut c'est la même perspective qu'ont haïtien maintenant quand est-ce cet angle là vaut zéro radiant on est ici on est exactement un rayon plus loin de lax des êtes d'accord ensuite quand on fait augmenter s ce rayon tournent toutes autour comme ça et on arrive jusque là quand on est ici eh bien on est à ce point là quand on est sur cette perspective-là ensuite on referme le cercle et on revient à notre point de départ donc si on regarde au dessus de ce cercle la voilà ce qu'on voit maintenant pour obtenir un donut on va devoir faire tourner ce cercle tout autour de lax des aides qui sort parisien ici c'est la kz des aides qui sort par là on a dit on le voit pas mais il sort par ici donc on va faire tourner ce cercle tout autour de lax dz comme ceux ci et pour ça on va définir un paramètre qui indique de combien est ce qu on a fait tourner ce cercle alors quand on est là et bien on a fait pivoter notre cercle 2-0 radiant ensuite on fait tourner notre cercle un petit peu plus autour de lax des aides et on arrive disons qu'on arrive ici donc cette distance là bien sûr c'est toujours b et puis ensuite on a notre cercle ici aux toujours vu du dessus d'accord et disons que quand on est là et bien on a fait pivoter notre cercle de départ puisqu'on est passé de cette position à cette position-là de thé radiant autour de lax des aides on a fait pivoter notre cercle de départ de tai radiant autour de lax des aides donc ce paramètre de rotation autour de lax des aides on va l'appeler t est comme s est bien tes est compris entre 0 et 2 pi et pour bien comprendre ce qu'il se passe avec ces deux paramètres je te propose de dessiner leur domaine de définition et de faire le lien entre ce domaine et notre surface c'est à dire de voir ce qu'il se passe dans notre tort quand on se place dans différentes zones de ce domaine de définition et quand on aura bien compris ça et bien alors on pourra réfléchir à quoi on part à maîtriser tout ça pour obtenir une fonction vectorielle de position alors on va tout de suite tracé ce domaine de définition d'abord on a ici l'acce d'été et rappelle toi tu es c'est le paramètre qui nous indique la rotation autour de lax dlc ce paramètre là ça nous indique la rotation de notre cercle autour de l'axé z puis ici on à laax ds et je pense que ça va bien aider à saisir l'idée de la paramétrisation de faire ça alors ces deux paramètres on a dit chacun varie entre 0 et depuis on va graduée ça pour s ça varie entre 0 puis s'il y en a deux pays alors au milieu on a dit ici on va avoir évidemment puis sur deux et puis ici on a 3 pi sur deux et même chose pour tt varie entre 0 et 2 pi et au milieu on à pied pis sur deux ici on a 3 pi sur deux et on va commencer par se demander que se passe-t-il si on fixe s à 0 et si on fait variétés entre 0 et 2 pi alors on va faire ça en bleu clair par exemple donc si s vous héros on est ici et on fait seulement varier le paramètre t entre 0 et 2 pi donc tu es variant entre 0 et 2 pi et s est constant à 0 mais alors ça ça correspond à quoi et bien c'est juste une courbe en trois dimensions ce n'est pas une surface par ce conte de fées variés qu'un seul paramètre alors on va voir ce qui se passe pour ça je vais dessiner mon espace avec donc l'accepter x lax t y es puis l'ex dz donc quand est-ce vos héros ça veut dire qu'on n'a pas formé de cercle du toit quand est-ce vos héros on est ici est d'accord 1 notre rayon là n'a pas bougé du tout donc on est sur la kz2 y à une distance de bplus à de lax des aides alors ici cette distance la cb ici c'est le centre de notre cercle et quand est-ce vos héros on est encore à plus loin donc on est ici on a une distance de bplus à de lax dz et ensuite on va faire varier ttc le paramètre qui nous indique comment est-ce qu'on tourne autour de lax dz comme on a vu ici quand on regardait dans au 1t c'est le paramètre qui nous indique comment est-ce qu'on varie autour de lax des aides donc quand on fait la paramétrisation de ce segment là un du domaine de définition de sc2 t on obtient la courbe qui correspond au bord extérieur de notre donuts si on regarde notre donneur dans aucun comme ici et bien c'est le contour externe de notre donuts je vais dessiner ça pour qu'on se représente un petit peu mieux les choses ce que je vais faire c'est que je vais aller dans les négatifs pour mes axes ci y va dans les négatifs aussi il s'est tu vas dans les négatifs par en bas donc ce segment dans notre plan au st et bien c'est alors s est constant s vos héros tout le temps donc on est ici d'accord ensuite on fait variété donc ici tvo 0 ensuite là on est athée vos piles sur deux on continue on arrive ici à thé vos pis ensuite on arrive à tvo 3 puis sur deux et on continue on termine à tvo 2 bis et donc ce segment là dans le plan ost correspond à cette courbe que je viens juste de dessiner c'est à dire s vos héros était varié entre 0 et 2 pi et on va faire la même chose avec un autre cas de figure disons que s toujours constant mais cette fois à phi phi radiance et 180 degrés donc on a parcouru exactement 180° sur le cercle en fait surtout les cercles on a parcouru 180° sur le cercle donc on arrivé à ce point là ils arrivent ici d'accord et pour tes ça ne change pas on fait variétés entre 0 et 2 pi donc quand est-ce vos pi et tvo 0 on est ici ce point là ça correspond à ce point ici d'accord on a parcouru ce 182 créé sur le cercle et quand on augmente t en gardant s constant api on augmente et qui varie entre 0 et 2 puis en gardant s constant appuyé et bien on va dessiner l'intérieur de notre donuts donc à passer par ce point là ici si à peu près comme ça et voilà c'est pas très très bien dessinés mais encore une fois c'est juste pour que tu sais et cdd et on peut continuer comme ça quand est-ce vos pieds sur deux quand est-ce vos pieds sur deux on est ici ça correspond à un angle de 90 degrés si je reprends mon premier schéma ça correspond à un angle de 90 degrés donc jusqu'ici quand est-ce vos pieds sur deux on est ici et si s est constant appuyé sur deux et qu'on fait variété et ben on dessine le haut du dos note alors d'abord ce point là s vos pieds sur deux et tvo 0 et bien c'est alors c'est à peu près ce point ici hein c'est un manque de 90 degrés donc on gardait s'appuie sur deux et maintenant on fait varier t d qui varie entre 0 et 2 bien comme à chaque fois ce qui nous permet de dessiner le dessus de notre donuts alors ça correspond au haut de ce cercle a donc ce point là ça correspond au haut de ce cercle ici ça correspond aux de ce cercle là et donc en reliant les points ça nous permet de dessiner le haut de notre donne maintenant si on veut tracer le bas du dos net et bien ça correspond à ce segment là sur le domaine de définition de nos paramètres s était donc s est constant à 3 puis sur deux était varie entre 0 et 2 pi est alors pour m'aider à tracer je vais dessiner des cercles comme ça on n'est pas censé voir cette demi cercle à moins que le taux note soit transparent c'est juste pour m'aider à tracer voilà et ensuite il me suffit que je relis le bas de ses demi cercle et ça me permet de former le bas de mon donuts à peu près quelque chose comme ça alors je te la corde ça devait un petit peu brouillon mais j'espère que ça te permet quand même de saisir l'idée et enfin quand est-ce vos deux pieds et qu'on fait variété et bien on est de retour sur le contour extérieur du donald donc je vais garder la même couleur pour ça je gardais le bleu le bleu clair et voilà et donc ça c'est ce qu'il se passe quand s est constant et que l'on fait variétés maintenant on va faire l'opposé que se passe-t-il si tvo 0 et donc ne varie pas et si on fait varier s alors je vais choisir une autre couleur quelque chose que j'aurais pas déjà utilisés tiens on va partir avec du rouge donc si on garde tes constant à 0 et qu'on fait varier s entre 0 et 2 pi tvo 0 ça veut dire qu'on n'a pas du tout tournait autour de lax dz d'accord on est donc dans le plan au y z ce plan là et si s varie de 0 à 2 pi donc à 0 on est ici ensuite on passe appuyé sur deux ans huit pieds donc ce point là eh bien c'est la même chose que ce point là s vos pieds étaient vos héros ensuite on a trop appuyé sur deux et enfin on arrive à 2 pi est donc ce segment là en rouge correspond à ce cercle ici on peut continuer avec la même idée maintenant on compte tvo qui sur deux eh bien on s'est déplacé de 90 degrés autour de lax des aides dont qu'on n'ait pas réussi et quand on fait varier s quand on fait varier entre 0 et 2 pi et bien on commence ici as égal zéro ensuite on continue et on trace un cercle tout autour comme ça de 0 à 2 pi ensuite on continue quand tu es vos pi et s vos héros ici donc on a tourné de 180 degrés autour de l'axé z on est ici donc s vos héros ont fait varier s entre 0 et 2 pi on fait donc varier s entre 0 pis sur deux pays 3 puis sur 2,2 pis on obtient un cercle comme ça et puis on va en tracer un dernier pour que ce soit complet donc quand tu es vos 3 puis sur deux on est ici et quand on fait varier s entre 0 et 2 pi et bien on est dans le plan au x z et donc quand on fait varier s on trace un cercle on part d'ici on trace un cercle comme ça on passe par tous les contours qu'on a dessiné avant je m'excuse c'est très brouillon mais j'espère que tu saisis quand même l'idée voilà et bien sûr content tu es vos deux pays eh bien on retombe sur notre situation de départ donc je vais tracé ça de la même couleur en rouge de ne compter vos deux pays qu on fait varier s entre 0 et pire ce pays sur deux on retombe sur cette situation là voilà j'espère qu'avec tout ça ça te donne un aperçu de l'idée qu'il ya derrière la paramétrisation on n'a pas fait de match je ne t'ai pas encore montré comment représenter un donut à l'aide d'une fonction à valeur vectorielle mais au moins j'espère que tu saisis ce que c'est que la paramétrisation pour finir j'aimerais bien qu'on regarde à quoi correspondent ces rc carella par rapport à notre surface par exemple ce quart est là à quoi est-ce que ça correspond sur notre surface eh bien tu es est compris entre 0 et pis sur deux était compris entre 0 et pied sur deux aces est compris entre 0 et pis sur deux aces compris entre 0 et pied sur deux ça correspond à cette partie là de notre tort si on regarde notre tort vu d'en haut eh bien ça correspond à cette partie là de notre tort on a transformé ce carré en sept parties du donuts et on verra plus tard comment faire ça mathématiquement voilà pour cette vidéo c'est à peu près tout ce que je peux te dire pour t'aider à visualiser ce que c'est que la paramétrisation et rappelle toi est ce c'est le paramètre qui nous permet de tracer ces cercles là et tu es c'est le paramètre qui les fait tourner tout autour de lax des aides et quand on combine les deux eh bien on a tous les points de notre tort dans la prochaine vidéo on verra comment par à maîtriser ce tort c'est à dire comment à partir de deux paramètres s était qui varient tous les deux entre 0 et 2 pi et bien on obtient une fonction à valeur vectorielle deux positions en trois dimensions qui définit un tort