Dérivée partielle d'une fonction vectorielle

on a la fonction à valeur vectorielle air qui est une fonction de deux paramètres s était qui est égale à la fonction iq ce qui est aussi une fonction de ces deux paramètres s était fois le vecteur unitaire des x y plus la fonction y qui est aussi une fonction des ses de thé fois le vecteur unitaire et y les vecteurs j + z de hesse et de tréfois le vecteur unitaire dz le vecteur cas et à partir de là j'aimerais qu'on réfléchisse dans cette vidéo à ce que ça veut dire dérivés cette fonction à valeur vectorielle par rapport à un des deux paramètres s août et je pense que ça devrait être plutôt naturel rien de bizarre on a déjà calculé les dérivées partielles de fonctions scalaires où on dérivait par rapport à une seule variable en traitant les autres variables comme des constantes nous on va faire la même chose ici puis on a aussi calculé la dérive et de fonctions à valeur vectorielles et il agissait simplement d'ajouter les dérivés de chacun des termes et on va voir que c'est la même chose pour les dérivées partielles alors on va commencer par définir la dérive et de cette fonction à valeur vectorielle par rapport à s est alors tout ce qu'on fait par rapport à s on peut faire la même chose par rapport à tes et on obtiendra le même résultat d'accord et on va définir sa comme la limite quand tu es tu as tend vers zéro de r2 est ce plus tel tu as tes alors ici on va considérer t comme une constante puisque on s'occupe de la dérivées partielles de l'air par rapport à s - rst tout ça sur delta est maintenant en faisant un petit peu d'algèbre on trouve que rds plus delta st c'est c'est égal à cette expression là avec ace plus lts à la place de s donc x2 est plus apte à st foy e-plus y de s plus delta st j etc etc etc tu ne me crois pas que tu peux essayer de le faire toi m donc ça c'est égal alors je me faire le plus de place possible parce que ça va être long à écrire donc la limite quand tu as d'anvers 0 2 x 2 s plus tôt tu as tes - x de s t sur t as x ou y alors c'est long et redondant écrire mais ça ne fait jamais de mal mais ce que je vais faire c'est que je vais changer de couleur comme ça ça va casser un petit peu la monotonie mais dis toi bien que cette limite quand tu détestes on vers zéro s'applique à tous les termes que j'écris donc plus y de s plus delta est ce c'est moins y de s t sur des tasses fois le vecteur unitaire j ai enfin plus z2 s plus delta s t - zfs t sur t as voit le vecteur unitaire cap et tout ça ça vient juste de cette définition ici hein on a dans cette expression on a remplacé s paraissent plus delta s on a obtenu sa rds plus delta st ensuite on a fait un peu d'algèbre à partir de cette expression là et on a obtenu ça et j'espère que là ça te saute aux yeux ici on à la dérive et partielle par rapport à s de chacune de nos fonctions x y et z mais alors qu'est ce qu'elles ont de particulier ses fonctions x y et z eh bien ce ne sont pas des fonctions à valeur vectorielle ce sont des fonctions scalaires quand on les rassemble comme ça ça devient une fonction à valeur vectorielle puisque on les multiplie par ces vecteurs unitaire y j écart mais indépendamment ce sont des fonctions scalaires donc ici on a juste des dérivées partielles de fonctions scalaires puisque on calcule la limite de chacun de ces termes quand elle tu as anvers ayrault et donc ça c'est la même chose que la dérivées partielles du x par rapport à s fois le vecteur est plus là dérivées partielles de y par rapport à s faux le vecteur j + la dérivées partielles de z par apparaissent voit le vecteur cas et il y a une chose de plus que je voudrais faire ici un et dis toi que si je fais tout ça c'est pour te donner les outils nécessaires pour attaquer les intégrales de surface alors ce que je vais faire là ce n'est pas purement mathématique mais c'est parce que les différentiels c'est quelque chose qu'il est difficile de définir rigoureusement et mon but c'est de te donner l'intuition de ce qu'il se passe donc ça ici on va dire que alors je vais changer de couleur on va dire que c'était gala alors tu ne verra probablement pas ça dans les livres de maths et d'ailleurs c'est quelque chose qui fera sûrement sortir les yeux de la tête un mathématicien pur et dur mais je vais quand même l'écrire parce que je trouve que ça donne l'intuition de ce qu'il se passe quand on calcule des intégrales de surface donc je vais dire que ça c'est égal à air de s plus tu es sds la différenciait l'h2s une variation très très très très petit de s t - rts tu es tout ça sur cette même infimes variations de sds et j'espère que tu saisis pourquoi je vois les choses comme ça quand on calcule la limite quand delta est tombé à zéro c'est delta est ce sont donc très très très très très petit cd variations de s très très très très petit et c'est comme ça que je vois les différentiels par exemple si on a des y sur des x qui est égal à 2 alors on a déjà fait un peu de calcul différentiel donc en multipliant de chaque côté et par des x on a des y égale deux fois dx ce qui veut dire que pour une variations infinitésimales très petit 2 x on a toujours une variations infinitésimales une très petite variation de y mais quand même deux fois plus importante que la variations infinitésimales de x enfin bref tout ça pour dire que je vois les différentiels comme de très très très petite variation de nos variable et alors tout ce que j'ai fait là alors je le répète encore une fois de vrais mathématicien en serez sans doute outré mais ce que j'ai fait là c'est de dire que quand delta est envers 0 et bien ce delta sc comme la différentiel de ces comme ds alors pourquoi est ce que j'ai fait ça et bien regarde si on multiplie de chaque côté ici par ds qu'est ce qu'on a car je vais écrire ça qu'est ce qu'on a à gauche on à la dérive et partielle de r par rapport à un ace fois cette très petite variation de sds qui est égal à alors de l'autre côté de l'équation on multiplie tout ça par ds donc le dénominateur disparaît on aère de s plus ds notre variations infinitésimales de s t - air de s t est alors je vais encadrer ce résultat là parce que c'est un résultat très important c'est un résultat très important parce qu'on va s'en servir dans les prochaines vidéos où on verra comment visualiser sa sur une surface parce que tu vois là on à la différence de deux vecteurs et on verra comment comment ça se présente dans l'espace et ça ça va beaucoup nous aider avec les intégrales de surface alors avec la même logique on peut faire exactement la même chose que ce qu'on a fait là par rapport à s mais cette fois par rapport à tes alors je vais faire ça on peut définir je changer de couleur je prends du jaune on peut définir à la dérive et partielle de r par rapport à tes qui est égale à la limite quand delta t cette fois dans vers zéro deux aires deux aces alors cette fois on considère s comme une constante on se concentre sur une variation de t&t plus delta t - air de s tu es sûre d'elle datée et donc même chose ça c'est égal à la dérive et partielle de x par rapport à tes fois le vecteur e-plus la dérivées partielles de y par rapport à tes faux le vecteur j + la dérive et partielle de z par rapport à tes fois le vecteur cas c'est la même chose sauf qu'on place s partait et donc en suivant la même idée 1 la même idée qui nous a amené à ce résultat eh bien on obtient la même chose mais pour t et ça on va écrire ça en blanc tient donc la dérivées partielles de r par rapport à tes fois une variations infinitésimales de tct gala air de s t + d'été - air de s t est encore une fois j'encadre ce résultat très important et dans la prochaine vidéo on va visualiser tout ça pour que ce soit moins abstrait 1 parce que ces deux résultats sont très importants pour les intégrales de surface et on les a simplement obtenu en calculant les dérivées partielles de cette fonction à valeur vectorielles et puis en faisant quelques arrangements