Intégrales triples 1

alors dans cette vidéo on va calculer le volume d'un cube donc un cube dans l' espace à trois dimensions donc je vais prendre par exemple un cube qui est définie par cet ensemble là donc les valeurs de x vont êtres vont varier entre 0 et 10 ont trois les valeurs de y vont aller de 0 à 4 il y va de 0 à 4 et puis z la hauteur ça va aller de 0 à 2 on va dire voilà alors bon on va calculer volume de ce cube là évidemment je sais ce que tu es en train de te dire c'est pas très compliqué il suffit de multiplier les trois dimensions et puis on aura le volume du cube mais en fait ce qu'on va faire ici c'est calculé ce volume avec une triple intégral en fait je prends ce cas de simple parce que c'est une bonne manière de voir qu'est ce que c'est qu'une triple intégral comment est-ce que c'est relié à une double intégral et puis ensuite on verra dans d'autres vidéos on verra des cas un peu plus compliqué alors je vais commencer par dessiner ce volume donc je vais prendre des axes prendre un repaire de l'espace ça c'est la kz des aides là je vais prendre je vais dessiner lax dx voilà et puis lax d y voilà alors ça j'ai dit que ça s'était aide ça c'est x l'ex des abscisses là c'est l'origine et puis ça c'est l' axe d y voilà alors x varie de 0 à 3 donc on va graduée sas ac 1 2 et 3 voilà donc ça c'est la valeur 3 et puis y va de 0 à 4 donc un deux trois quatre voilà quatre ici et puis z va de 0 à 2 on va faire voilà deux alors je vais dessiner maintenant le cube donc je vais dessiner cet art est là voilà celle là ça ce sont des arêtes qui vont être visible alors maintenant je vais dessiner cet art est là donc de longues heures deux de hauteur de 1 et puis celle là comme ça là j'en ai une autre de hauteur de queue qui va être visible aussi et là j'ai une arête alors je vais faire comme ça voilà alors ça c'est le cube le parallélépipède dont je vais essayé de calculer le volume j'ai dit tout à l'heure un cube en fait c'est pas un cube puisque les trois dimensions sont pas égales c'est un parallélépipède alors beau alors on va le faire avec la technique de triple intégral mais on peut déjà à connaître le résultat comme ça en faire sur s'est trompé ou pas puisque pour calculer le volume d'un parallélépipède il suffit de multiplier les trois dimensions donc ici x ces trois mesures 3 3 unités de longueur y mesure 4 donc on va avoir trois fois quatre ça fait 12 et puis la hauteur ces deux donc ça fera 24 ans le volume ces 24 alors on va le calculer avec une triple intégrale et en fait on va résonner exactement de la même manière que ce qu'on a fait dans le cas des doubles intégral sauf que ici on va pas prendre une petite un petit élément de surface on va prendre un petit élément de volume donc un volume infinitésimale alors je vais le dessiner ici par exemple donc voilà un élément de volume infinitésimale donc on peut donner on peut nommer ses dimensions la sas est une variation dans laxe d y donc on va l'appeler des y cette dimension là c'est des zdx pardon parce que c'est une variation selon l'axé des x et puis la hauteur de notre cube ici c'est dz voilà du coup ce parallélépipède infinitésimale je peux calculer son volume je vais le noter comme ça c'est un volume infinitésimale c'est le produit des trois dimensions donc cdx fois d y fois des z alors quand je veux si je veux calculer le volume je peux faire exactement le même raisonnement que celui qu'on a fait dans les vidéos sur les sur les intégrales double en fait je peut additionner ses cubes en fait je peux imaginer mon mon parallélépipède rempli par tous ces petits parallélépipède infinitésimaux et donc je vais faire la somme des vols de tous ces petits volumes et ça va me donner en fait le volume total de mon parallélépipède alors je vais faire cette somme je vais comme d'habitude le faire d'une manière ordonnée alors je peux commencer par exemple par additionnez tous les volumes en colonne donc les enfants comme si je les avais empilés comme ça donc ça va me donner en fait le volume de cette colonne là je vais dessiner comme ça voilà ça va me donner le volume de cette colonne là au dessus de mon petit vu de mon de mon petit volume et voilà alors ça ça correspond à faire une intégrale alors je vais le faire c'est l'intégrale hors jeu prendre d un code couleur ça va être l'intégrale horse et intègre en fait selon dans la direction des xd est d'un pardon donc ce jeu intègre deux aides alors la borne inférieure c zéro z va de 0 à 2 donc j'intègre pour z qui va de 0 à 2 cette expression là et que je vais réécrire en fait comme ça je vais d'abord comme j'intègre par rapport à z je vais d'abord écrire des aides et puis ensuite je vais écrire les deux autres dimensions de moncube infinitésimale voilà donc ça c'est exactement le volume de cette colonne alors maintenant je vais intégrer dans le sens d'aider x par exemple ou d y je vais le faire dans le sens des x puisque la gema variable x ici donc je vais additionner en fait dans ce sens là je le fait qu'une autre couleur dans ce sens là comme ça donc je vais en fait obtenir une lamelle de mon volume une lamelle épaissi de mon mot de mon volume et ça ça va correspondre à intégrer dans la direction des x donc je vais avoir ici une intégrale de cette expression là donc ça va c'est pour les valeurs de x qui vont de zéro à trois dont j'intègre pour x qui va de 0 pardon de 0 à 3 cette expression là et là je vais prendre le vert pour ceux des x voilà alors là donc j'ai me retrouve avec le volume de cette lamelle ici et puis maintenant je vais additionner ses lamelles dans le sens d y je peux prendre une autre couleur ici aussi je vais additionner ses lamelles dans le sens d y donc je vais avoir en fait je vais faire les lamelles comme ça et ça ça correspond à faire une intégration dans le sens selon y donc je vais avoir ici une intégrale aussi et les valeurs de y alors la borne inférieure c zéro puisque y va de zéro jusqu'à 4 donc la borne inférieure c zéro la borne supérieure c4 donc j'intègre pour y qui va de zéro jusqu'à 4 voilà donc là je vais mettre ceux d y en rouge pour qu'on voit bien à quoi ça correspond voilà bah ça c'est l'expression trip ya intégrale de ce volume là et je peux facilement le calcul et puisque là je vais d'abord avoir à devoir calculer la cette intégrale l'a donc l'intégrale deux aides pour z qui va de zéro jusqu'à 2-2 en fait c'est la fonction un qui est ici donc je peux imaginer ici qu'on a la fonction constante 1 donc il faut que je trouve la primitive de 1 et que je la calcule entre-deux entre les valeurs de et 0 alors ça je vais le faire à côté l'intégrale qui va de 0 à 2 pour ed qui va de 0 à 2 2 1 dz donc la primitive de 1 bcz que je vais calculée entre 0 et 2 j'ai évalué à entre 0 et 2 donc ça fait 2 - 0 c'est-à-dire 2 voilà donc cette cette expression là ici ces deux donc finalement je me retrouve avec ça donc je vais réécrire l'expression l'intégrale pour y qui va de zéro jusqu'à 4,2 après lg l'intégrale pour x qui va de zéro jusqu'à 3 de cette expression là alors deux ces deux voies des xe fois d y fois des x fois d y voilà donc là en fait je peux on peut déjà remarquer une chose importante c'est que là on est en fait ramené à une expression double intégral et donc c'est donc c'est le volume compris sous une surface est effectivement là on pourrait très bien imaginer que ici cette surface qui est là je vais là colorier la surface du dessus ben c'est une fonction d'équations z et ghallef de xy et dans ce cas là notre équation c'est aide égale f 2 x y et en fait c'est une fonction constante qui veut te qui vaut toujours 2 et donc on pourrait en fait voir cette double intégral comme l'intégrale de y pour y qui va de zéro jusqu'à qu'après x qui va de zéro jusqu'à 3 de la fonction f2 xy 1d x d y voilà donc c'est tout à fait l'expression en double intégral qu'on a vu dans les sections précédent tant dans les vidéos précédentes voilà alors maintenant je vais continuer mon calcul ici je vais intégrer je vais calculer cette cette partie là ici cette partie là donc je vais le faire ici l'intégrale pour x qui va de zéro jusqu'à 3 de la fonction d'eux en dx tout simplement je vais calculer la primitive de deux l'après mitis de 2 c 2 x que je vais évaluer du coup entre 0 et 3 donc ça fait 2 fois 3 - 2 x 0 donc deux fois trois ça fait 6 donc ça la g6 donc ça alors je vais mettre des signes est égal quand même ça sera plus joli ça c'est le volume ça c'est le volume encore et là je vais leur écrire ici donc c'est l'intégrale il me reste ça l'intégrale de pour y qui va de zéro jusqu'à 4 de cette expression là que je viens de calculer ses six c6 et que et j'intègre ça par rapport à y voilà alors là bon mais c'est tout est facile en maintenance et des intégrales simple donc je vais le calculer directement ici il faut que je calcule la primitive de 6 la premi tiff de 6,20 ses 6 x 6 y ait ici attention la variable d'intégration c'est y donc maintenant g6 y que je dois évaluer entre 0 et 4 entre 0 et 4 donc 6 x 4 ça fait vingt-quatre moins six fois zéro c'est à dire zéro donc finalement je trouve que mon volume ces 24 et heureusement puisqu'on sait que c'est la valeur qu'on devait trouver donc on unités exprimés en unités de volume par exemple des centimètres q ou des mille mètres cubes ou bien des mètres cubes voilà ça sera 24 unités de volume unités cubique voilà alors évidemment la question que tu dois certainement de poser c'est pourquoi est-ce qu'on fait tout ça puisqu'on peut à la fois calculer très facilement simplement en multipliant les trois dimensions le volume de ce parallélépipède là on m'a même des techniques plus simple en double intégral pour calculer des volumes beaucoup plus compliqué que celui ci donc pourquoi est ce que on fait tout ça pourquoi en ce qu'on fait des triples intégral alors effectivement c'est une bonne question est en fait la réponse c'est que parfois on est on ne cherche pas à calculer le volume met par exemple en physique on peut chercher à calculer la masse masse d'un solide de ce genre là alors évidemment si ce solide est uniforme on aura une densité qui sera partout la même donc pour calculer la masse de ce solide on aura donc la densité rocky sera uniforme et il suffira de multiplier sa part le volume total et ça ça donnera la masse la masse comme ça voilà mais dans le cas d'un solide qui n'est pas uniforme c'est à dire par exemple d'un gaz ou bien un solide qui est composée différents matériaux on a une densité qui n'est pas uniforme qui va varier à l'intérieur du volume donc en fait on va avoir alors je vais effacer ça on va avoir une densité raw qui va varier en fonction de x y et z donc ça va être une fonction de 2 x y z alors cette lettre là c'est la lettre grecque rocchi est traditionnellement dénote là la densité en physique alors là je peux prendre je vais prendre un exemple pas trop compliqué on veut dire que la densité de ceux de ce solide c'est x y z le produit des trois dimensions alors si je veux calculer la masse de ce petit parallélépipède qui est ici eh ben je vais tout simplement prendre la densité et la x le volume infinitésimale de ceux de ce parallélépipède donc ça va me donner en fait alors la malle se décrire comme ça un petit élément de masse du coup ça va être row 2 x y z fois le volume des vais donc fois des hits d y dz je vais l'écrire comme sa foi txt y des z voilà ça c'est cohérent parce que la densité c'est une grandeur qui se veulent s'exprimer en unité de masse par unité de volume et quand je multiplie par des unités de volume j'obtiens effectivement des unités de voilà donc évidemment faut faire attention multiples et sous multiples des unités qu'on utilise mais en tout cas les dimensions sont cohérentes donc effectivement si je fais ça j'obtiens un à la masse de ce petit élément de volume qui est ici de ce petit solide qui est là alors ensuite bon s'achever les je vais l'écrire tels que remplaçant ropars à son expression donc c'est x y z fois dx d y des z alors une petite remarque ainsi si j'écris le j'ai écrit le volume comme ça le volume dv je les écris comme le produit des trois dimensions bon ça c'est parce que j'utilise ici des coordonnées cartésienne l'expression de ce volume sera différente si on utilise d'autres types de coordonner comme des coordonnées polaire ou sphérique voilà enfin là pour l'instant on va continuer avec ses coordonnées cartésienne est bon bien sûr ici je peut intervertir les l'ordre d'intégration à l'ordre de ces éléments là ça n'a pas d'importance on a l'habitude de ça alors quand je si je veux effectivement calculer la masse de mon solide en fait je vais devoir additionner tous ces éléments de masse donc en fait je vais devoir faire une triple intégral mais cette fois ci la fonction que je vais devoir intégrer c'est celle là c'est la fonction x y z je vais devoir faire une triple intégral alors que ce qu'on a fait tout à l'heure c'était qu'on avait intégré en a fait une triple intégral mais du de la fonction constante 1 donc voilà ça va être un peu plus compliqué mais en fait tu vas voir on voit on fera ça dans la prochaine vidéo parce que là c'est un peu long mais tu vas voir qu'il n'y a pas de difficultés particulières le jeu c'est vraiment de trouver des primitives et puis de faire attention aux ordres dans lequel on trouve ces primitifs donc dans l'ordre dans lequel on fait les intégrations voilà donc ça c'est ce qu'on fera dans la prochaine vidéo donc à plus tard