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Intégrales triples 2

Utilisation d'une intégrale triple pour calculer la masse d'un objet dont la masse volumique n'est pas une constante de l'espace. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans la dernière vidéo on a calculé le volume d'un parallélépipède de ce parallélépipède là et en fait on l'a calculé avec une triple intégral effectivement on ça paraissait un peu bizarre parce que calculer le volume de d'un solide de ce genre là c'est vraiment très simple il suffit de multiplier les trois dimensions et nous on l'a fait avec une triple intégral donc ce n'était pas vraiment nécessaire effectivement pour ce volume là et puis on avait même remarqué que quand on faisait ce calcul là avec une triple a avec une intégrale triple eh bien on finissait par arriver sur cette expression là qui est une âcre et intégrale double qu'on sait faire et en fait ça revient à calculer le volume compris sous une surface au dessus d'une un domaine de définition et en fait ça effectivement on savait le faire et donc pas encore une fois on se demande pourquoi est-ce qu'on est allé faire une intégrale tripes alors qu'on pouvait le faire soit en multipliant les dimensions soit en faisant une intégrale double voilà alors à la fin de la vidéo on avait fait un tournant un petit peu parce qu'on s'était dit que finalement le but c'était pas forcément simplement on n'avait pas toujours besoin de calculer uniquement le volume mais parfois on doit calculer la masse d'un un solide et si ce solide n'est pas uniforme par exemple si c'est un gaz ou bien si c'est un métal composé un alliage et bien ça sera pas un solide uniforme et dans ce cas là on sera obligé de faire une triple intégral donc pour traiter ce genre de cas là ce qu'on avait fait c'est qu'on avait défini une dans une fonction de densité donc une densité qui était variable qui est qui dépend des détroits cordes unis donc c'était une fonction de trois variables x y et z et donc c'est cette fonction là qu'on avait défini la roue or c'est cette lettre qui ressemble un peu un peu arrondie qui se dit rocky les nôtres traditionnement la densité en physique et on avait pris le cas où cette densité s'exprimer de cette manière là c'était x x y x êtes donc ça c'est la densité au point de coordonnées x y z a ensuite on s'était demandé ce que c'était que la masse alors c'est pas la masse en un point précisément mais c'est la masse autour de ce point dans un petit un petit voisinage de ce point là de ce point de coordonnées x y z mais on avait défini cette masse comme étant ben tout simplement le produit de la densité par le volume ou alors on peut aussi dire que la densité c'est la masse / le volume alors ça c'est ce qu'on avait écrit ici un petit élément de masse c'est la densité x le volume ça ici là cet élément là c'est ce qu'on pourrait appeler déverser le volume de ce petit cube qui est ici de ce petit parallélépipède qui est ici donc voilà c'est comme ça qu'on avait défini en fait notre petit élément de masse notre différentiel de masse petit élément infinitésimale de masse au point x y z on avait défini comme le produit de la densité en ce point là l'euro 2 x y z fois le volume de ce petit élément de solides et en fait on avait après et crise a encore donné encore donné cartésienne donc ça nous a donné cette expression la x y z ça c'est l'expression de la densité x dx par des grecs des z qui est le volume exprimer encore donné cartésienne voilà alors évidemment là on peut changer l'ordre l'ordre n'a pas d'importance comme d'habitude alors maintenant on vit ce qu'on va faire ses calculs et effectivement la masse de ce solide sachant que la densité hessel est donnée par cette cette fonction-là x y z on va supposer là pour clarifier un petit peu on va supposer que nos dimensions sont donnés en maître donc le volume ça sera des mètres cubes et la densité sera donné en kg par mètre cube donc finalement notre masse face exprimé en kg dans ce cas là je prendrai cet exemple là parce que effectivement ce sont les unités du système international alors donc je vais calculer ce set cette masse la masse de ce solide donc en fait je vais faire une triple intégral donc je vais additionner en fait tout mais les zélés mes éléments de masse qui va revenir à faire une triple intégral alors je vais commencer je vais leur écrire ici donc mon élément de masse et x y z le x le volume est en fait je vais choisir l'ordre dans lequel j'intègre donc je vais d'abord là je vais faire je vais d'abord intégré par rapport à z donc je vais écrire mon volume comme ça ensuite je vais intégrer par rapport à y ait ensuite par rapport à x voilà ça c'est mon volume est jeune je l'écris de cette manière là pour garder trace de l'ordre dans lequel je fais mon intégration j'intègre d'abord par rapport à z donc il faut que je voie les les bornes de zz varie entre les valeurs 0 et 2 c ces deux valeurs là donc je fais d'abord une intégrale entre 0 et 2 pour x possède qui varient 0 à 2 ensuite je vais intégrer par rapport à y c'est ce que j'ai noté ici donc là il faut que je regarde les valeurs entre lesquels y varient ils varient entre 0 et 4 donc je fais l'intégrale entre 0 et 4 voilà de cet élément là et puis enfin je vais intégrer par rapport à x qui varie entre 0 et 3 donc finalement je me retrouve avec cette triple intégral la intégrale de 0 à 3 sas et les variations de x2014 pour y est de 0 à 2% aide voilà alors bon pour calculer ça mais maintenant je vais procéder dans l'ordre c'est à dire que je vais d'abord intégré par rapport à z c'est ce qui est écrit ici donc je vais considérer en fait les variables x et y comme étant constante pour l'instant donc il faut que je trouve la primitive de x y z par rapport à z considérant ici que z est la seule variable donc que la primitive de z ces aides au carré sur deux donc la primitive de x y z c'est x y z au carré sur deux et ça je vais l'évalué entre eux du coup 0 et 2 qui sont les bornes de des variations deux aides alors maintenant je vais calculé ça donc quand c'est dette égale à deux ça me fait deux carrés 4 / de ça fait deux dons qu'ils restent ici 2 x y et puis quand on z est égal à zéro ce terme là et nulle donc ça c'est l'intégrale c7 cette partie là que je viens de faire ici voilà je vais descendre un petit peu alors là je vais écrire ça c'est la masse que je suis en train de calculer et donc maintenant je sais que c'est l'intégrale de 0 à 3 sa cx1 tegra 2 0 à 4 ça c'est y de alors 2 x y ça c'est ce que je viens de calculer fois d y x dx alors maintenant je vais calculer cette cette partie ici je vais le faire comme ça cette partie là donc c'est une intégrale par rapport à y donc la seule variable c'est y donc le considère ici xcom constante et la primitive de y sait y au carré sur deux et quand je multiplie par 2 x le 2 va s'en allait donc il me reste x y ray que je dois évaluer ici entre 0 et 4 entre 0 et 4 alors quand je remplace x/y par quatre ça me fait 4 au carré c'est à dire 16 donc le reste 16 x - 0 donc 16x alors maintenant je peux continuer je vais descendre un petit peu il me reste donc cette fois-ci l'intégrale de 0 à 3 de ce que je viens de trouver 16 x par rapport à x donc c'est ceux des x qui restent ici donc maintenant ben voila j'ai pratiquement terminée un la primitive de xc xo carrés sur deux quand je multiplie par 16 mai reste donc 8 x au carré donc ça finalement c'est 8 x au carré que je dois évaluer entre 0 et 3 alors bon quand je remplace x par trois ça ne fait 3 ou carré c'est à dire neuf 9 x 8 ça fait soixante douze donc 72 - 0 voilà alors ça c'est la masse exprimé en kg puisqu'on on a parlé de kilogrammes le volume on l'a vu au rejet plus si je les noter ici voilà le volume il est ici c'est 24 alors on va dire des mètres cubes et puis la masse et 72 kg donc là on voit finalement l'intérêt de sept de ses tripes l'intégrale ça prend tout son sens là quand on doit calculer la masse de ce solide non uniforme on peut calculer la masse de ce solide malgré le fait que sa densité soit complètement variable et on trouve ici 72 kg et ça on l'a fait en faisant une triple intégral en fait en intégrant la danse la fonction de densité et qui est une fonction de trois variables est bon en fait c'est comme si on avait un champ scalaires on assure un champ scolaire c'est-à-dire une valeur sans direction sans orientation en chaque point une valeur donnée en chaque point et en fait on a intégré ce champ scalaires sur tout un volume et ça ça correspond à faire une triple intégral c'est ça la la nouvelle la nouveauté enfin le nouvelles techniques qu'on a qu'on a appris ici alors dans les prochaines vidéos on va s'entraîner à calculer des intégrales des intégrales triple un peu plus compliqué que ça ah bon tu vas te rendre compte qu'en fait la difficulté bon ça devient très rapidement quand on a des fonctions de densité par exemple plus compliquée que celle ci ou bien des formes des solides avec des formes beaucoup plus complexe que ça eh bien le calcul est effectif de l'intégrale trip devient très long très fastidieux en fait tu vas voir que souvent dans les examens ce qu'on va te demander c'est pas effectivement de calculer des primitives parce que ça on supposera que tu en as calculer des tonnes et des tonnes donc ça va être plutôt d'aller par exemple visualiser les bornes de ton de ton domaine de définition de ton domaine d'intégration ou bien ce que ça peut être aussi d'aller changer l'ordre dans lequel tu fais ton intégration c'est à dire que on peut te donner une intégrale en 2d en te disant voilà cette intégrale c'est ça et bien donné son expression quand on change l'ordre de l'intégration voilà alors ça c'est justement ce qu'on va faire dans la prochaine vidéo donc à plus tard