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Intégrales triples 3

Déterminer les bornes d'une intégrale. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va continuer notre travail sur les intégrales triplé en fait on va pas on va pas vraiment calculé une intégrale tripes mais on va prendre un on va faire un peu le même travail que ce qu'on a fait dans la dernière vidéo c'est à dire qu'on va essayer de calculer la masse d'un solide à partir d'une fonction de densité et puis en fait on va le faire avec un solide un peu plus compliqué que ce qu'on a vu la dernière fois et il le prend le travail principal qu'on va faire ici ça va être d'aller bien visualiser les bornes de nos intégration voilà alors je vais commencer par prendre une surface donc je dessine une surface en fait ça va être un plan c'est le plan d'équations 2x plus trois aides plus y égale 6 voilà ça c'est une équation cartésienne de plans alors je vais tracé 7 heures ce plan est en fait je vais me restreindre au cadran enfin à la partie de l'espace où tout est positif donc toutes les coordonnées sont positives donc je vais dessiner c'est ce que je vais dessiner ici ça c'est l'ex des aides positif l'acce dx côté positif aussi et puis lax désordonnée y côté positif voilà donc ça c'est l'origine ça j'ai dit que c'est l axe des abscisses x ça c'est l'axé des ordonnées y est ça c'est l'ex des aides voilà alors maintenant je vais tracé cette la portion de ce plan hockey dans cette partie là de l'espace alors je peux commencer par définir les intersections avec les axes donc en z et y sont nuls ça va me donner l'intersection avec l'axé des abscisses et c'est je l'obtiens pour 2 x égale 6 donc x égal 3 donc je peux faire je peux mettre 1 2 3 voilà donc ici je vais avoir l'intersection de mon plan avec l'axé des abscisses et puis je peux faire la même chose pour y donc si x et z sont nulles et bien y est égal à 6 donc là j'ai 1 2 3 4 5 et 6 si si si donc ça c'est l'intersection de mon plan de ce plan avec l'axé des ordonnées donc j'ai déjà je peux déjà tracé cette cette droite là qui en fait l intersection de mon plan avec le plan xy plan horizontal xy alors maintenant je vais regarder l'intersection avec la cause est donc il faut que je mette x et y égal à zéro donc ça me donne trois aides et galsi c'est-à-dire z égal 2 donc je vais le mettre 1 et 2 voilà ça alors maintenant je peux tracer les intersections de ce plan avec les plans coordonnées donc avec le plan l'intersection avec le plan x z ça sera ce ce segment là et puis l'intersection avec le plan z y y et z c'est cette ce segment là voilà alors là je vais pas calculer le jeu on va pas se demander quel est le volume compris sous cette surface l'enjeu l'a assuré cette surface là je l'assuré comme ça donc c'est une surface inclinée une surface plane incliné donc je vais pas me demander quel est le volume compris entre lax entre le plan xy le plan horizontal xy et cette surface là je vais faire de quelque chose d'un peu plus compliqué en fait je vais me demander quel est le volume du solide compris entre cette surface et la surface d'équations z égal 2 ce qui veut dire que ça ça sera la surface du dessous de mon solide alors je vais dessiner la surface d'équations z égal 2 alors elle va passer forcément par ici pl je vais avoir l'altitude de ici aussi voilà comme ça et puis l'appareil l'altitude de 2 aussi donc là je vais regarder la portion du plan d'équations aide égale 2 qui est au dessus de cette surface là donc je vais tracé sept tracés comme ça voilà voilà alors je ne sais pas si tu arrives et à visualiser ça je vais faire je vais essayer de mettre un peu de couleur pour que ce soit plus clair alors je vais mettre ça en poitiers parce que ça en fait c'est derrière on le voit pas c'est la face du dessous voilà là c'est pareil c'est dessous et puis je vais colorier la face du dessus alors je la colorée comme ça voilà c'est la phase du dessus et puis évidemment bourget une phase qui est ici alors je peux la colorier aussi celle là pour la visualisation est assez importante il faut que tu te fasses l'effort de comprendre comment il fait solide ici on a donc une phase qui est ce qui est devant nous la là c'est la face du dessus la face que j'ai assuré en jaune c'est celle de deux sous et puis on a aussi deux faces triangulaire qui est une une qui est celle celle ci l'a alors j'ai pas comment est ce que je peux faire pour la rendre plus qu'eramet voilà c'est celle que qui est ici et puis on a cette phase là qui est celle là voilà qui est un triangle aussi voilà bon je pense pas que je pourrais faire mieux que ça je vais pas trop surcharger le dessin parce qu'en plus on va devoir dessiner deux dans des petits volumes donc il vaut mieux pas que je mette trop de choses alors pour que ce soit vraiment utile d'avoir une triple intégral ici on va on va se mettre dans le cas où le solide n'est pas uniforme donc on va avoir une fonction de densité que je vais noter comme ça row 2 x y c'est donc c'est une fonction des trois variables x y et z ça pourrait être n'importe quoi n'importe quelle fonction bon là je vais quand même donner une expression pour ce soit un peu plus concret on va définir cette densité de fonction comme saïx au carré fois y x z par exemple voilà pas ça je fais ça c'est pas du tout le but c'est pas du tout d'étudier ces dentistes et donc c'est pas ça qui va être important alors ce qu'on va faire maintenant c'est calculé non pas le volume de ce solide mais on va calculer sa masse en utilisant la fonction de densité alors maintenant je vais faire comme d'habitude c'est à dire que je vais imaginer d'avoir rempli mon solide par des petits volumes alors je vais dessiner un de ces petits volumes alors ici je le dessine est comme ça ça c'est parallèle à l'axé une variation de d y donc séparé l'accès y l'ag parallèle à laax dx et puis voilà ça me donne ça donc cette dimension là c'est une variations infinitésimales d y donc de l'accord donné y donc je l'appelle des y ça c'est cdx et puis cette dimension-là cdz voilà alors maintenant je peux calculer facilement le volume de ce petit par les people infinitésimale ça va être des vdv et ça c'est encore donné cartésienne je peux l'exprimer comme ça des ics des grecs fois dz sachant que l'ordre n'importe pas ici à partir de ça je peux calculer la masse de ce petit volume là tout simplement en multipliant par la densité au point x y z donc en fait je vais avoir un petit élément de masques j'appelle des haines et qui va être qui va s'écrire comme ça xy x x au carré pardon il faut y x z fois le volume des vais donc fois dx d y des z est bon on sait que quand on va faire vraiment l'intégration pour à intervertir ccc différentiel là selon l'ordre qu'on a choisi pour faire pour intégrer et donc ça évitera qu'on se trompe et qu'on intègre pas par rapport à la bonne variable là par exemple on fait on va commencer on a fait ça souvent par intégré selon l' axe dz donc en fait on va additionner nos volumes en les empilant colonnes comme ça donc avoir plusieurs comme ça voilà au dessus ou en dessous il y en a un en dessous aussi un donc voilà on va intégrer comme ça dans le sens par rapport à z d'abord alors ça me donne une intégrale une intégrale pour z qui va de quelque chose à z qui va de quelque chose d'autre ça ce sont les bornes qu'il va falloir qu'on détermine et ben on va intégrer cette expression la xe au carré y z et là je vais mettre d'abord dz pour marquer le fait qu'on attaque d'abord par rapport à z donc je vais avoir des aides d y dx pardon et des grecs voilà alors maintenant le tout c'est d'arriver à 10 à déterminer les borne supérieure et inférieure de cette intégration alors alors la borne supérieure elle pose pas trop de problème puisque quand on additionne comme ça on bute sur cette valeur là qui sur la surface et la surface est là pour équation 2,7 à la constante de donc la valeur supérieure bas c'est tout simplement la valeur z égal 2 voilà par contre pour la valeur inférieure en fait on bute sur la surface jaune ici donc sur le plan d'équations 2x plus trois aides plus y égalise égale 6 donc en fait ici 7,7 et auteur la z eh bien c'est la hauteur qui correspond au point de corps de coordonner xy appartenant à ce plan là donc en fait c'est on peut déterminer cette borne là en résolvant cette équation en exprimant z en fonction de xy à partir de cette équation là donc ça c'est ce que je vais faire ici donc j'ai trois aides qui va être égale à 6 - 2 x - y j'exprime simplement z en fonction de x et y à partir de l'équation du plan quand il suffit que je divise maintenant par trois donc ça va être raide égale à 6 / 3 ça fait 2 - 2/3 de x moins un tiers de y voilà donc ça c'est effectivement la borne inférieure de mon intégration puisque c'est la hauteur du point de ce plan de coordonnées x et y dont les amap 6 d'absys et d'ordonner x et y pardon donc voilà j'ai déterminé la borne ici c'est 2 - 2/3 de x moins un tiers de y donc je récapitule pour être sûr que ce soit clair l'ag j'empile mais petit parallélépipède et je les empilent à partir de ce point ici qu'est sur la surface d'équations aide égale deux z égal 2 donc là ça c'est la borne supérieure ces deux c'est celle que j'ai ici et puis je l'un des joueurs quand je vais j'empile vers le bas eh bien je bute sur le plan est donc ça cette borne inférieure c'est le point de la surface jaune de se planquer là qui a pour abscissique c'est pour ordonner y voilà donc ça c'est les bornes de mon intégration et puis en fait cette intégration elle correspond à faire une somme de ces masses et donc à faire une somme de ces éléments-là la densité fois le volume alors maintenant on va continuer donc il faut qu'on arrive à additionner maintenant nos colonnes et on va le faire maintenant dans le sens par exemple de sens des x puisque c'est ce que j'ai noté ici on pourrait faire par rapport aux grecs mais bon comme c'est déjà noté comme ça on va continuer de cette manière là donc il faut imaginer additionner nos colonnes dans le sens de la rrq 6 donc ça serait alors je vais essayer de noter un très facile là ce serait en fait additionner des des colonnes des lamelles de ce solide comme ça hein voilà alors là donc je vais avoir une intégrale encore une fois pour des valeurs de x et il faut que j'arrive à déterminer les bornes de d'intégration de x donc quelle est la borne inférieure ici dans ce cas là pour x et quelle est la bande supérieure pour x voilà ça c'est la question la plus difficile c'est celle là maintenant alors pour faire ça en fait on s'est déjà occupé de d'intégrer dans le sens de la hauteur dans le sens de l'accord donné à z donc en fait on peut oublier ça et regarder ce qui se passe en projetant sur le plan horizontal xy puisque on peut considérer que z on s'en est déjà occupé alors pour faire ça je vais je vais me placer dans ce plan là xy et je vais dessiner ce qui s'y passe ça c'est vraiment un bon réflexe donc j'ai fait un dessin par exemple ici là donc là du coup si je regarde xy en bon il faut imaginer le le le tourner pour avoir la vision la vision classique donc je vais avoir quelque chose comme ça ici c'est la kz dx là c'est l'origine et la celac ce d y alors j'ai mon x qui varie de 0 à 3 ici un ses 7,7 cet axe là donc je vais graduée sa 1 2 et 3 ici c'est la valeur 3 et puis les valeurs de y vont de zéro à six alors je vais placer la valeur 6 1 1 2 3 4 5 6 voilà par exemple alors maintenant je vais dessiner la projection de mon mon triangle ici qui est la portion de ce plan là dont on s'occupe c'est cette cette surface la voilà ça c'est du coup c'est la projection de ma surface jaune sur le plan horizontal xy alors nous ce qu'il faut qu'on arrive à visualiser c'est comme on m'a projeté sur le plan xy en fait on va on va on va projeter aussi nos colonnes les colonnes qu on a additionné ici dont on a mesuré la masse et bien en fait quand on projette ses colonnes ça nous donne la base on va on ne voit plus que la base qui est là par exemple est bon après il faut qu'on intègre alors on a décidé d'un traître d'intégrer d'abord par rapport à x donc on va les additionner on va additionner nos colonnes comme ça des deux côtés alors maintenant il faut qu'on voit ou est-ce qu'on s'arrête donc là en fait on s'arrête quand on bute sur les bornes du domaine de définition cayla les bornes de notre de notre domaine alors ici on bute sur la valeur x et gagnent 0,6 le domaine continuer et que ça avait été par exemple une droite ici on aurait continué jusqu'à buter sur la sur la droite sur le segment de droite et puis on aurait trouvé une autre valeur du x qui aurait dépendu de y comme ça va être le cas ici donc là on sait que x va de la borne inférieure de l'intégration cx égal zéro c'est celle là ici et puis maintenant pour déterminer la borne supérieure à bien on additionne de verre des valeurs supérieures nos éléments de ici c'est des petits carrés mais ça serait en fait nos colonnes en vue de dessus et on tombe sur cette valeur là donc en fait alors il faut qu'on arrive à déterminer la valeur cette valeur 6 en fonction d'eux y improbablement alors la question qu'il faut se poser c'est qu'elle est l'équation de cette droite clame l'équation de cette droite qui est qui et de ce segment de droite l'a alors ça c'est tout simplement on l'a vu un c l'intersection de notre plan d'équations 2x plus troisième plus y égale 6 avec le plan horizontal xy plus précisément c'est l'intersection de ce plan avec le plan d'équations z égal zéro donc il faut qu'on il suffit de remplacer ici z par zéro et on obtient l'équation de cette droite là donc c'est ce que je vais faire l'équation de cette droite c'est 2 x 2 x plus y égale 6 est là pour trouver maintenant la la la valeur de ce x qui est là bien on va tout simplement exprimé x en fonction d'eux y donc j'obtiens x égal 6 - y divisé par deux c'est à dire 3 - y sur deux voilà 3 mois y sur deux donc la valeur supérieure de notre intégration la bande supérieure de notre intégration cx égal 3 - y sur deux j'aurais dû faire ça un peu plus espacées pour que ce soit plus clair mais enfin bon alors du coup maintenant on se retrouve avec effectivement cessé ses lamelles là qu'on va maintenant additionner dans le sens des désirs grecque alors ça veut dire qu'il va falloir qu'on fasse une autre intégralement une troisième intégral ça ça va être du coup par rapport dans le sens d y par rapport à y est on doit trouver les bornes d'intégration par rapport à y alors ça c'est ce qui est plus simple ici y varie de en fait on additionne on peut vue de dessus ce serait additionner toutes ces bandes qui sont là pour dans le sens d y en partant de cette valeur si puisque là quand on descend on bute sur le domaine de définition avec la valeur y égal 0 et puis la borne supérieure ces cantons but ici sur le domaine euros sur sept sur ce point là donc c'est y égale 6 donc les bornes d'intégration ici ça sera y égal zéro et y égale 6 voilà donc ça c'est l'expression de la masse la masse de ce solide qui est ici avec cette densité de avec cette fonction de densité là eh ben on va pas calculer cette triple intégral parce qu'on n'a pas le temps à la vidéo est déjà un petit peu longue je te laisse le faire si tu veux c'est pas très compliqué mais voilà ça c'est l'idée est là alors je peux faire une juste une eu une petite remarque qui est analogue à celle que j'avais fait dans le cas des intégrales double c'est que là on calcule on doit avoir une masse c'est-à-dire un nombre et donc ça veut dire qu'il faut absolument que notre quel que soit l'ordre dans lequel on fait les intégrations il faut que notre dernière intégration soit entre des bornes fixes sinon ça veut dire que tu t'es trompé quelque part puisque tu auras quelque chose de deux variables qui sera pas et qui sera pas un nombre voilà bah écoutes je t'encourage à faire cette intégration et puis à bientôt