Différentielle d'une fonction vectorielle

dans les deux dernières vidéos on avait vu que comment on pouvait décrire un chemin une fonction dans le plan xy par une fonction qui avait qui prenaient des valeurs vectorielle donc dont les valeurs et est un vecteur et qui en fait un vecteur de position alors dans le dans le cas le plus général on avait défini un vecteur de position de cette manière là en fonction d'un paramètre t2 en disant que c'était x de thé dans le sens du vecteur y plus y de thé dans le sens du vecteur j voilà ça c'est donc une fonction qui dépend du paramètre t et dont les valeurs sont des vecteurs qui ont ses coordonnées la x de thé y de thé alors on avait vu que de cette manière là en utilisant ce genre de fonction on pouvait décrire un chemin dans le plan alors pour ça il fallait spécifier la valeur de l'étendue des valeurs de t1 donc on va prendre par exemple on va dire que tu es peut varier entre les valeurs a et b et puis on avait regardé comment effectivement cette fonction-là pouvait décrire un chemin dans le plan donc un chemin qui sera que qui sera décrit par la fonction vectorielle air de thé pour tes qui varie de a à b voilà alors je vais faire un petit dessin pour que pour se rappeler un petit peu pour se rafraîchir un peu la mémoire l'axé horizontal est porté par le vecteur y est là qu ce lecteur unitaire y est l' axe vertical est porté par le vecteur unitaire j'y vois là alors ici pour la valeur t égal à on se trouve par exemple je veux dire ici un sas et la valeur tegan à et pour la valeur des galbes et on se retrouve là et entre ces deux valeurs là eh bien on décrit un chemin qui peut être par exemple ça voilà un chemin de ce genre là ça peut être n'importe quel type de courbe un euro c'est une courte dans le plan est ce qu'on avait vu c'est que si je prends un point de la courbe par exemple ce point là et bien je peux tracé le vecteur poesy le vecteur ici ce vecteur là qui part de l'origine et qui termine dans le point que je sais que je que je considère maintenant et bien en fait j'obtiens le val le vecteur air de thé pour cette valeur là du paramètre tu es donc je en fait j'obtiens successivement si je commence à la valeur est égale à bien j'ai ce vecteur là si je prends une autre valeur de t je vais me situer ailleurs sur la courbe par exemple ici je vais obtenir et je vais pouvoir tracer ce vecteur la voilà et en fait pour chaque point de la courbe jeu peut tracer ce vecteur air de thé qui va être un vecteur de position et qui est effectivement ce vecteur 6 voilà donc là un cas typique sur veut se faire une idée concrète c'est celui d'une particule ou d'un mobile qui bouge selon cette trajectoire donc là le paramètre dans ce cas là le paramètre t ça serait le temps et 7 ce vecteur air de thé et décrit la position du de la particule en chaque instant t voilà mais bon dans le cas général c'est pas forcément le temps le paramètre ça peut être n'importe quoi d'autre donc ça c'est ce qu'on a fait dans les deux vidéos précédentes et puis dans la dernière vidéo on avait vu comment est-ce qu'on pouvait définir la dérive et d'une fonction à valeur vectorielle comme celle là donc comment est-ce qu'on pouvait définir la dérivée de la fonction air qui est ici alors cette dérive et là on avait vu que ça serait un vecteur aussi et puis on avait réussi à en donner une définition l'avait fait on l'avait vraiment montrer et en fait cette définition c'est que le vecteur air dérivés de r donc on peut noter air prime de thé et bien c'est tout simplement on l'obtient en faisant la dérive et exprime de thé par rapport à t1 c'est la dérive et de la fonction de l'awb 6 par rapport au temps dans le sens du vecteur y plus la dérive et de leurs données par rapport aux paramètres d dans le sens du vecteur j voilà donc c'est cette expression là c'est celle qu'on a effectivement démontré dans la vidéo précédente et là ce que je voudrais faire c'est montrer plusieurs plusieurs expressions qui vont être qu'ils vont être intéressantes pour nous à partir de cette dérivation donc ça déjà on peut l'écrire de cette manière là puisque exprime de tesla dérivés de x par rapport au temps et y prime de tesla dérivés de y par rapport au temps donc on peut écrire aussi que air prime de thé cdx sur d'été dans le sens du vecteur y plus d y sur d'été dans le sens du vecteur j et on peut même écrire au lieu d'écrire air prime de thé on peut écrire ça comme ça un des airs de tr par bhl dérivés de r par rapport au temps on peut la notte comme ça différemment des airs sur des ter prime de t&d dans les deux cas on peut l'exprimer de cette manière là alors là je vais faire quelque chose de je vais le faire de manière assez peu rigoureuse en fait je vais faire du de des manipulations algébrique avec ces différentiels donc normalement il faudrait utiliser des limites et tout ça mais bon on va faire comme si et d'été était un peu d'un nombre petits seins mais très proche de zéro mais quand même un nombre fixe par exemple je vais pouvoir partir de cette expression là et multiplier des deux côtés par des t1 donc j'oublie ce qui est au milieu si je vais partir je vais m'occuper de ça donc je vais multiplier des airs sur des tdr sur d'été fois d'été et puis de l'autre côté je vais multiplient aussi chaque composante par d'été donc je vais obtenir des x / d'été voix d'été dans le sens du vecteur y plus d y sur d'été fois d'été dans le sens du vecteur j'y vois là alors là je pourrais faire des simplifications je vais faire ici déjà ça je peut réécrire que cdr et que du coup c'est en fait des ics sur d'été alors dx sur d'été c'est la dérive et 2x donc je peux écrire que c'est exprime de thé donc après j'obtiens exprime de tréfois d'été dans le sens du vecteur y plus là je vais faire la même chose xb y sur dtc y prime de thé x d'été du coup dans le sens du vecteur j donc là j'obtiens une expression de ce genre comme celle là une autre expression qui peut être intéressante c'est celle qu'on obtient à partir de là en simplifiant les dt 1 donc ça ça donnerait drdr égal à dx sur d'été froides et est du coup en simplifiant on peut écrire que c'est dx tout simplement dans le sens du vecteur y plus ici de la même manière on obtient des y dans le sens du vecteur j puisque les d'été se simplifient voilà alors cette dernière expression est assez intéressante parce qu'en fait elle décompose la variation du vecteur en variation de son app 6 et variations de son ordonné alors je vais préciser ça un petit peu par exemple si je regarde la variation qu'il ya entre cette position là et cette position là donc entre ce vecteur là et ce vecteur là et bien là variations je peux l'écrire c'est ce vecteur six mois ce vecteur là donc c'est ce vecteur que je dessine en que je trace en rouge ça en fait c'est notre toute petite variation donc on parle vraiment de toutes petites variations donc ça c'est notre toute petite variation du vecteur air donc cdr et puis on peut l'exprimer de cette manière en fait ce que veut dire cette expression c'est que ici on a une variations désordonnées je vais le prendre une autre couleur une variation des abscisses pardon qui est ici ça a cédé x c'est la variation de l'abc ce de ce petit vecteur d r et puis ici on a un jeu propre du violet cette variation là qu'on retrouve ici un jeu vous l'a dessiné la sas et d y donc là pour voir ça il faut considérer que comme on se déplace dans le temps dans ce sens là en fait la quantité des xv être faudra la prendre négatif donc si je pars d'ici et que je suis je prends la composent et dx du coup dans le sens de moins 6 eh bien je vais me déplace je vais arriver ici et puis ensuite je prends j'ajoute des y x j donc je montais j'obtiens effectivement le vecteur d r donc là on a une expression très utile parce qu'elle décompose la variation du vecteur air en fonction des variations de 16 de ses coordonnées de son app 6 et 2 sont ordonnées voilà on va en rester là pour cette vidéo et on se servira de tout ça dans les prochaines vidéos