La distributivité de la multiplication sur l'addition

Voici $3$‍ lignes contenant chacune $6$‍ points. C'est une représentation de l'égalité $3\times 6=18$‍.

Si on dessine une ligne en pointillés qui divise ces points en deux groupes, le nombre total de points ne change pas.

Le groupe du haut contient $1$‍ ligne de $6$‍ points. C'est une représentation du produit $1\times 6$‍.

Le groupe du bas contient $2$‍ lignes de $6$‍ points chacune. C'est une représentation du produit $2\times 6$‍.

On a toujours un total de $18$‍ points.

La règle mathématique qui permet de décomposer une multiplication s’appelle la distributivité.

Voici cette règle : on ne change pas le résultat d'une multiplication si on réécrit l'un des facteurs sous la forme de la somme de deux nombres.

Quand on connaît la distributivité, on peut calculer un produit en faisant deux multiplications plus simples.

Dans l'exemple avec les points, on a commencé avec $3\times 6$‍.

On a séparé les $3$‍ lignes en $1$‍ ligne + $2$‍ lignes. On peut le faire car $1+2=3$‍.

On utilise la distributivité pour calculer $(1+2)\times 6$‍ à la place de $3\times 6$‍.

On distribue le facteur à chacun des termes entre parenthèses, c'est-à-dire qu'il faut multiplier $6$‍ par $1$‍ puis par $2$‍. Le calcul devient :
$(1\times 6)+(2\times 6)$‍

On effectue les deux multiplications :
$6+12$‍

Puis on additionne :
$6+12=18$‍

$3\times 6=18$‍ et
$(1+2)\times 6=18$‍

Les nombres comme $1,2,5$‍ et $10$‍ sont faciles à multiplier. En utilisant la distributivité, on peut simplifier une multiplication en les choisissant comme facteurs.

Par exemple, on peut changer $4\times 12$‍ en $4\times (10+2)$‍.

À gauche des pointillés, on a représenté $(4\times 10)$‍, et à droite, $(4\times 2)$‍.

Donc $4\times 12$‍ est égal à :
$(4\times 10)+(4\times 2)$‍
$=40+8$‍
$=48$‍

Il est plus facile de multiplier par $10$‍ et par $2$‍ que de multiplier par $12$‍. Grâce à la distributivité, on a pu calculer ce produit plus rapidement.

Ces lignes de points représentent le produit $9\times 4$‍.

La distributivité est très utile pour multiplier des nombres plus importants. Comment, par exemple, peut-on utiliser la distributivité pour simplifier le calcul $15\times 8?$‍

On commence par décomposer $15$‍ en $10+5$‍. Puis on distribue le $8$‍ à ces deux nombres.