La propriété qui permet de décomposer une multiplication pour simplifier le calcul.

Utiliser des parenthèses

Voici 3\tealD{3} lignes de 2\goldD{2} points. Le nombre de points est le produit 3×2\tealD{3} \times \goldD{2}.
On copie 4\purpleD{4} fois le tableau de 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} points :
Le nombre total de points est (3×2)×4(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4}.
Si on compte les points, on obtient un total de 2424.

Associer différemment

Obtient-on le même résultat si on modifie les parenthèses pour que les multiplications soient faites dans un ordre différent ?
On peut mettre les parenthèses autour de 2\goldD{2} fois 4\purpleD{4} par exemple : 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4}).
2\goldD{2} lignes de 4\purpleD{4} points représentent le produit 2×4\goldD{2} \times\purpleD{4}.
On les reproduit 3\tealD{3} fois pour représenter le produit 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4}).
Si on compte les points, on obtient un total de 2424.
On peut associer différemment les nombres, ça ne change pas le résultat !
(3×2)×4=3×(2×4)(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4} = \tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})

Associativité

La propriété qui permet de regrouper comme on veut les nombres dans une multiplication s'appelle l'associativité.
Voici un exemple avec un produit de trois nombres que l'on va calculer de deux façons différentes.
On veut calculer le produit 5×4×25 \times 4 \times 2.
On peut calculer le produit de 5\blueD{5} par 4\blueD{4}, puis le multiplier par 22 :
=(5×4)×2\phantom{=}(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=20×2= \blueD{20} \times 2
=40= 40
On peut aussi commencer par calculer le produit de 4\purpleD{4} par 2\purpleD{2} :
=5×(4×2)\phantom{=}5 \times (\purpleD{4 \times 2})
=5×8=5 \times \purpleD{8}
=40=40
Dans les deux cas on obtient le même produit.
Ces trois produits sont égaux :
=5×4×2\phantom{=}5 \times 4 \times 2
=(5×4)×2=(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=5×(4×2)=5 \times (\purpleD{4 \times 2})

À vous !

Maintenant, on essaie de calculer un produit de deux façons différentes.
On prend les mêmes nombres mais on les associe différemment.
(3×2)×5=30(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30 et
3×(2×5)=303 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30
Dans les deux cas on obtient le même produit.

Expressions égales

On utilise l’associativité pour trouver des expressions égales.
On commence avec 2×2×52 \times 2 \times 5.
Ces deux produits sont égaux à 2×2×52 \times 2 \times 5 :
(2×2)×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5
2×(2×5)2 \times (\goldD{2 \times 5})
En calculant chaque produit étape par étape, on peut trouver d'autres produits égaux.
(2×2)×5=4×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5 = \blueD{4} \times 5
2×(2×5)=2×102 \times (\goldD{2 \times 5}) = 2 \times \goldD{10}
Donc le produit 2×2×52 \times 2 \times 5 est aussi égal à 4×54 \times 5 et à 2×102 \times 10.

Pourquoi associer ?

Associer les nombres peut permettre d'effectuer une multiplication plus facilement.
Si on doit calculer 4×4×54 \times 4 \times 5,
on peut faire le calcul en associant les nombres de deux façons :
(4×4)×5(4 \times 4) \times 5
4×(4×5)4 \times (4 \times 5)
Dans le premier cas, on obtient : (4×4)×5=16×5(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5
Dans le deuxième cas, on obtient : 4×(4×5)=4×204 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}
Il est plus facile de calculer 4×204 \times 20 que 16×516 \times 5.
Même si les nombres sont associés différemment, on obtient le même produit.
4×20=804 \times 20 = 80
16×5=8016 \times 5 = 80

À vous !