Dans une multiplication, on peut changer l'ordre des facteurs.

Des produits égaux

Voici 2\greenD{2} lignes de 4\purpleD{4} points. Le nombre de points peut s'écrire 2×4=8 \greenD{2} \times \purpleD{4}= \goldD{8}.
Et voici les mêmes points disposés en 4\purpleD{4} lignes de 2 \greenD{2} points. Le nombre de points peut s'écrire 4×2=8\purpleD{4} \times \greenD{2} = \goldD{8}.
Dans les deux cas, on a un total de 8\goldD{8} points.
4×2=8\greenD{4} \times\purpleD{2} = \goldD{8} et 2×4=8\purpleD{2} \times \greenD{4} = \goldD{8}
Quand on change l'ordre des facteurs, le produit reste le même.
5×4=20\greenD{5} \times \purpleD{4} = \goldD{20}
4×5=20\purpleD{4}\times \greenD{5} = \goldD{20}
5×4=4×5\greenD{5} \times \purpleD{4} = \purpleD{4}\times \greenD{5}
7×10=70\greenD{7} \times \purpleD{10} = \goldD{70}
10×7=70\purpleD{10}\times \greenD{7} = \goldD{70}
7×10=10×7\greenD{7} \times \purpleD{10} = \purpleD{10}\times \greenD{7}

La commutativité de la multiplication

"La multiplication est commutative" signifie que le produit ne change pas si on change l'ordre des facteurs.
Voici 5\goldD{5} lignes de 2\blueD{2} points.
Le nombre total de points est le produit du nombre de lignes par le nombre de points par ligne.
5×2=10\goldD{5} \times \blueD{2} = \greenD{ 10}
On aurait pu disposer ces points en 2\blueD{2} lignes de 5\goldD{5} points :
On n'a ni rajouté, ni enlevé de points.
En multipliant le nombre de lignes par le nombre de points par ligne, on obtient :
2×5=10\blueD{2} \times \goldD{5} = \greenD{ 10}
L'ordre dans lequel on multiplie 2\blueD{2} et 5\goldD{5} ne change pas le résultat.
5×2=2×5\goldD{5} \times \blueD{2} = \blueD{2} \times \goldD{5}

À vous !

Voici 88 lignes de 44 points.

Utiliser la commutativité

Écrire un produit

La multiplication est commutative donc on peut changer l'ordre des facteurs.
Si on veut utiliser une multiplication pour calculer ce nombre de points :
On peut utiliser 5×35 \times 3 car il y a 55 colonnes de 33 points.
On peut aussi utiliser 3×53 \times 5 car il y a 33 lignes de 55 points.
Dans les deux cas le produit est 1515.

Autre exercice

En quoi la commutativité est-elle utile ?

La commutativité de la multiplication facilite le calcul de produits de plus de deux facteurs.
Voici un exemple :
Pour effectuer 7×2×57 \times 2 \times 5, on peut multiplier 77 par 22, puis multiplier le résultat par 55 :
7×2=147 \times 2 = 14
14×5=7014 \times 5 = 70
C'est exact ! Mais on peut aussi éviter de calculer 14×514 \times 5.
La commutativité permet de changer l'ordre des nombres sans changer le résultat.
On peut permuter 77 et 55 pour simplifier le calcul. On obtient 5×2×75 \times 2 \times 7.
5×2=105 \times 2 = 10
10×7=7010 \times 7 = 70
Multiplier par 1010 est nettement plus facile.