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Calcul

Cours : Calcul > Chapitre 15

Leçon 3: Résoudre un système par substitution

Résoudre un système d'équations par substitution

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Que signifie "Résoudre un système par substitution" ?

On utilise l'une des équations pour exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre. Ensuite, dans l'autre équation on remplace cette inconnue par l'expression trouvée. On obtient une équation à une inconnue que l'on sait résoudre. On en déduit ensuite la valeur de la deuxième inconnue.

Exemple 1

Résoudre le système :

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{aligned}

On a l'expression de

x

en fonction de

y

dans la deuxième équation. On remplace

x

par cette expression dans la première équation, puis on résout l'équation obtenue :

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ - 2 y & = - 12 \\ y & = 6 \end{aligned}

y = 6

x = - y + 3

. On en déduit la valeur de

x

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ x & = - 6 + 3 \\ x & = - 3 \end{aligned}

Le couple solution est le couple

(- 3; 6)

On peut vérifier que ce couple est bien solution de l'équation

3 x + y = - 3

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 \times (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

Le couple

(- 3; 6)

est bien solution des deux équations.

Exercice 2

Résoudre le système :

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{aligned}

On utilise la deuxième équation pour exprimer

y

en fonction de

x

\begin{aligned} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{aligned}

On remplace

y

par

2 x + 9

dans la première équation :

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ 27 x + 90 & = 36 \\ 3 x + 10 & = 4 \\ 3 x & = - 6 \\ x & = - 2 \end{aligned}

x = - 2

y = 2 x + 9

. On en déduit la valeur de

y

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ y & = 2 \times (- 2) + 9 \\ y & = - 4 + 9 \\ y & = 5 \end{aligned}

Le couple solution est le couple

(- 2; 5)

La vidéo.

À vous !

Exercice 1

Résoudre ce système.

\begin{aligned} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{aligned}

x =

y =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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Issa Sango
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Issa Sango «je n'arrive jamais à bien ... »
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