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Calcul

Cours : Calcul > Chapitre 15

Leçon 3: Résoudre un système par substitution

La méthode par substitution

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La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.

Il s'agit de résoudre le système :

$y = 2 x équation 1$ ‍

$x + y = 24 équation 2$ ‍

La difficulté est qu'il y a deux inconnues.

D'après l'équation

1

y

est égal à

2 x

. Donc on peut remplacer

y

par

2 x

dans l'équation

2

. Et cette équation sera alors une équation à une seule inconnue.

$\begin{aligned} x + y & = 24 & équation 2 \\ x + 2 x & = 24 & On a remplacé y par 2x \end{aligned}$ ‍

On la résout :

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

On a obtenu que

x

est égal à

4

. On calcule la valeur de

y

en remplaçant

x

par

4

dans la première équation.

$\begin{aligned} y & = 2 x & équation 1 \\ y & = 2 \times 8 \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Le couple solution du système est le couple

(8; 16)

. On vérifie !

Ce couple est-il solution de la première équation ?

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 \times 8 \\ 16 & = 16 & Exact ! \end{aligned}$ ‍

Ce couple est-il solution de la deuxième équation ?

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 \\ 24 & = 24 & Exact ! \end{aligned}$ ‍

Le couple

(8; 16)

est bien le couple solution du système.

Cette méthode s'appelle la méthode de substitution.

Résoudre ce système par la méthode de substitution.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

[La réponse]

Parfois il faut commencer par exprimer l'une des variables en fonction de l'autre

Soit à résoudre ce système :

$- 3 x + y = - 9 équation 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 équation 2$ ‍

Avant toute chose, il faut exprimer l'une des variables en fonction de l'autre.

Etape 1 : On exprime l'une des variables en fonction de l'autre.

On déduit de la première équation l'expression de $y$ ‍ en fonction de $x$ ‍ :

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & équation 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Etape 2 : On remplace $y$ ‍ par cette expression dans la deuxième équation et on résout l'équation d'inconnue $x$ ‍ obtenue.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & équation 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & On a remplacé y par -9 + 3x \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 \end{aligned}$ ‍

On en déduit la valeur de $y$ ‍ :

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & équation 1 \\ - 3 \times 4 + y & = - 9 & On a remplacé x par 4 \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 \end{aligned}$ ‍

Le couple solution est le couple

(4; 3)

[Vérification]

À vous !

1) Résoudre ce système par la méthode de substitution.

$2 x - 3 y = - 5$ ‍

$y = x - 1$ ‍

x =

y =

[La réponse]

2) Résoudre ce système par la méthode de substitution.

$- 7 x - 2 y = - 13$ ‍

$x - 2 y = 11$ ‍

x =

y =

[La réponse]

3) Résoudre ce système par la méthode de substitution.

$- 3 x - 4 y = 2$ ‍

$- 5 = 5 x + 5 y$ ‍

x =

y =

[La réponse]

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