La forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Les trois formes d'un nombre complexe

Algébriquea, plus, i, b
Trigonométriquer, left parenthesis, cosine, theta, plus, i, sine, theta, right parenthesis
Exponentieller, times, e, start superscript, i, theta, end superscript

Forme algébrique

start color blueD, a, end color blueD, plus, start color greenD, b, end color greenD, i
Sous cette forme, la partie réelle\blueD{\text{réelle}} et la partie start color greenD, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end color greenD du nombre complexe sont en évidence.
C'est la forme la plus adaptée si on doit additionner ou soustraire deux nombres complexes.
Dans le plan complexe l'image du nombre complexe a, plus, i, b est le point d'abscisse a et d'ordonnée b.

Forme trigonométrique

start color goldD, r, end color goldD, left parenthesis, cosine, start color purpleC, theta, end color purpleC, plus, i, sine, start color purpleC, theta, end color purpleC, right parenthesis
Sous cette forme c'est start color goldD, l, e, space, m, o, d, u, l, e, end color goldD et start color purpleC, u, n, space, a, r, g, u, m, e, n, t, end color purpleC du nombre complexe z qui sont en évidence. Si M est le point du plan complexe d'affixe z, le module de z est la longueur O, M. Le module est noté avec le symbole de la start color goldD, v, a, l, e, u, r, space, a, b, s, o, l, u, e, end color goldD : vertical bar, z, vertical bar. Un argument de z est l'une des mesures de langle orienté\purpleC{\text{l'angle orienté}} défini par l'axe open bracket, O, x, right parenthesis et le vecteur d'origine O et d'extrémité M. On appelle argument principal la valeur de cet angle comprise entre et .
Si on développe la forme trigonométrique de z, on obtient sa forme algébrique :
Si z, start subscript, 1, end subscript est le nombre complexe de module start color goldD, r, start subscript, 1, end subscript, end color goldD et dont un argument est start color purpleC, theta, start subscript, 1, end subscript, end color purpleC et z, start subscript, 2, end subscript le nombre complexe de module start color goldD, r, start subscript, 2, end subscript, end color goldD et dont un argument est start color purpleC, theta, start subscript, 2, end subscript, end color purpleC, alors le module de leur produit z, start subscript, 1, end subscript, z, start subscript, 2, end subscript est start color goldD, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color goldD et un des ses arguments est start color purpleC, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color purpleC.

Forme exponentielle

start color goldD, r, end color goldD, times, e, start superscript, i, start color purpleC, theta, end color purpleC, end superscript
Sous cette forme, c'est aussi le start color goldD, m, o, d, u, l, e, end color goldD et un start color purpleC, a, r, g, u, m, e, n, t, end color purpleC du nombre complexe qui sont en évidence. Il suffit de regarder comment s'écrit le produit de deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle pour se rendre compte de ses avantages et de sa simplicité :
left parenthesis, start color goldD, r, start subscript, 1, end subscript, end color goldD, times, e, start superscript, i, start color purple, theta, start subscript, 1, end subscript, end color purple, end superscript, right parenthesis, times, left parenthesis, start color goldD, r, start subscript, 2, end subscript, end color goldD, times, e, start superscript, i, start color purple, theta, start subscript, 2, end subscript, end color purple, end superscript, right parenthesis, equals, start color goldD, r, start subscript, 1, end subscript, end color goldD, start color goldD, r, start subscript, 2, end subscript, end color goldD, times, e, start superscript, i, left parenthesis, start color purple, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color purple, right parenthesis, end superscript
Cette forme exponentielle vient du fait que par définition, quel que soit le réel x, e, start superscript, i, x, end superscript, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Bien sûr l'égalité qui lie la forme exponentielle d'une nombre complexe et sa forme trigonométrique est :
start color goldD, r, end color goldD, times, e, start superscript, i, start color purpleC, theta, end color purpleC, end superscript, equals, start color goldD, r, end color goldD, left parenthesis, cosine, start color purpleC, theta, end color purpleC, plus, i, sine, start color purpleC, theta, end color purpleC, right parenthesis