Learn what an identity matrix is and about its role in matrix multiplication.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2, times, 3. On dit aussi que c'est une matrice .
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.
Chacun des éléments de la matrice produit est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la première matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la deuxième matrice.
Si nécessaire, reportez-vous à la leçon Multiplier deux matrices.

Definition of identity matrix

La matrice identité de dimension n, times, n, notée I, start subscript, n, end subscript, est une matrice carrée de n lignes et n colonnes. Tous les éléments de sa diagonale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à0.
Par exemple :
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 \\ 0& \greenD1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0 \\ 0& \greenD1&0\\0&0&\greenD1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0&0 \\ 0& \greenD1&0&0\\0&0&\greenD1&0\\0&0&0&\greenD1 \end{array}\right]
Le rôle de la matrice identité dans l'ensemble des matrices est le même que celui de 1 dans l'ensemble des réels.

Investigation: Multiplying by the identity matrix

Effectuer ces produits :
1) I2=[1001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right] et A=[2351]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 5& 1 \end{array}\right].
I, start subscript, 2, end subscript, times, A, equals

Pour calculer le produit I, start subscript, 2, end subscript, times, A, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice I, start subscript, 2, end subscript et à chacune des colonnes de la matrice A.
La matrice produit I, start subscript, 2, end subscript, times, A est égale à :
I2×A=[i1a1i1a2i2a1i2a2]=[1×2+0×51×3+0×10×2+1×50×3+1×1]=[2351]\begin{aligned}I_2\times A&=\left[\begin{array}{rr}\vec{i_1}\cdot \vec{a_1} & \vec{i_1}\cdot \vec{a_2} \\ \vec{i_2}\cdot \vec{a_1} & \vec{i_2}\cdot \vec{a_2} \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1\times2+0\times5} & 1\times 3+0\times1 \\ 0\times2+1\times5& 0\times3+1\times1\end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 5& 1 \end{array}\right] \end{aligned}
2) I3=[100010001]I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0&0 \\ 0& 1&0 \\0&0&1 \end{array}\right] et A=[154322413]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &5&4 \\ 3& 2&2 \\4&1&3 \end{array}\right].
A, times, I, start subscript, 3, end subscript, equals

Pour calculer le produit A, times, I, start subscript, 3, end subscript, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice A et à chacune des colonnes de la matrice I, start subscript, 3, end subscript.
La matrice produit A, times, I, start subscript, 3, end subscript est égale à :
A×I3=[a1i1a1i2a1i3a2i1a2i2a2i3a3i1a3i2a3i3]=[1×1+5×0+4×01×0+5×1+4×01×0+5×0+4×13×1+2×0+2×03×0+2×1+2×03×0+2×0+2×14×1+1×0+3×04×0+1×1+3×04×0+1×0+3×1]=[154322413]\begin{aligned}A\times I_3&=\left[\begin{array}{rr}\vec{a_1}\cdot \vec{i_1} & \vec{a_1}\cdot \vec{i_2}&\vec{a_1}\cdot \vec{i_3} \\ \vec{a_2}\cdot \vec{i_1} & \vec{a_2}\cdot \vec{i_2} & \vec{a_2}\cdot \vec{i_3} \\ \vec{a_3}\cdot \vec{i_1} & \vec{a_3}\cdot \vec{i_2} & \vec{a_3}\cdot \vec{i_3} \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1\times 1+5\times 0+4\times 0} & 1\times 0+5\times 1+4\times 0& 1\times 0+5\times 0+4\times 1\\ 3\times 1+2\times 0+2\times 0& 3\times 0+2\times 1+2\times 0&3\times 0+2\times 0+2\times 1\\4\times 1+1\times 0+3\times 0 &4\times 0+1\times 1+3\times 0&4\times 0+1\times 0+3\times 1 \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1} &5&4 \\ 3& 2&2\\ 4&1&3 \end{array}\right] \end{aligned}

Conclusion

Quelle que soit la matrice A, si on la multiplie, à droite ou à gauche par la matrice identité de même dimension, on obtient la matrice A elle-même. Quelle que soit la matrice A, A, times, I, equals, I, times, A, equals, A.

Connections to the real numbers

Élément neutre pour la multiplication

La matrice I, start subscript, n, end subscript joue le même rôle dans l'ensembles des matrices que le nombre dans l'ensemble des réels.
Le nombre 1La matrice I, start subscript, n, end subscript
Quel que soit a, le produit de 1 par a est égal à a. Quel que soit a, a, times, 1, equals, 1, times, a, equals, aQuelle que soit la matrice , A, le produit de la matrice I, start subscript, n, end subscript par la matrice A est égal à A. Quelle que soit A, A, times, I, start subscript, n, end subscript, equals, I, start subscript, n, end subscript, times, A, equals, A

Matrice inverse

Par définition, l'inverse du nombre réel a est le nombre dont le produit par a est égal à 1. Par exemple, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, times, 3, equals, 1 et 3, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, equals, 1, donc start fraction, 1, divided by, 3, end fraction et 3 sont inverses l'un de l'autre.
Tout réel différent de 0 a un inverse. Est-ce que de même toute matrice non nulle a une matrice inverse ?
Soient les matrices A et B :
A=[2334]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 3& 4 \end{array}\right] space B=[4332]B=\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ 3& -2 \end{array}\right]
On calcule queA, B, equals, I, start subscript, 2, end subscript et B, A, equals, I, start subscript, 2, end subscript.
Pour calculer le produit A, B, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice A et à chacune des colonnes de la matrice B.
La matrice produit A, B est égale à :
AB=[a1b1a1b2a2b1a2b2]=[2×(4)+3×32×3+3×(2)3×(4)+4×33×3+4×(2)]=[1001]\begin{aligned}A B&=\left[\begin{array}{rr}\vec{a_1}\cdot \vec{b_1} & \vec{a_1}\cdot \vec{b_2} \\ \vec{a_2}\cdot \vec{b_1} & \vec{a_2}\cdot \vec{b_2} \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{2\times(-4)+3\times3} &2\times3+3\times(-2) \\ 3\times(-4)+4\times3& 3\times3+4\times(-2)\end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right] \end{aligned}
Pour calculer le produit B, A, on associe un vecteur à chacune des lignes de la matrice B et à chacune des colonnes de la matrice A.
La matrice produit B, A est égale à :
BA=[b1a1b1a2b2a1b2a2]=[(4)×2+3×34×3+3×43×2+(2)×33×3+(2)×4]=[1001]\begin{aligned}B A&=\left[\begin{array}{rr}\vec{b_1}\cdot \vec{a_1} & \vec{b_1}\cdot \vec{a_2} \\ \vec{b_2}\cdot \vec{a_1} & \vec{b_2}\cdot \vec{a_2} \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{(-4)\times 2+3\times 3} &-4\times 3+3\times4 \\ 3\times2+(-2)\times3& 3\times3+(-2)\times4\end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right] \end{aligned}
Donc les matrices A et B sont inverses l'une de l'autre.
Mais nous verrons qu'il n'est pas vrai que toute matrice différente de la matrice nulle a une matrice inverse.