Les matrices identité

il ya quelque chose que tu connais déjà en fait depuis longtemps depuis que tu as appris à faire les multiplications c'est le fait que si on multiplie un certain nombre par le chiffre 1 1 x x eh bien on obtient x le fait de multiplier par 1 ne change pas le deuxième terme de la multiplication donc cette propriété un peu spécial c'est ce qu'on peut appeler en fait l'identité on peut dire que le chiffre 1 parmi les scalaires c'est l'identité et nous ce qui nous intéresse ici c'est de voir s'il existe une analogie s'il existe une certaine matrice identité tels que lorsqu on multiplie cette matrice identité par une seconde matrix et bien on obtient toujours la seconde matrix donc la question qu'on se pose dans cette vidéo je vais leur écrire ici c'est existe-t-il une certaine matrix je vais appeler y un autre matrix est telle que la multiplication de cette matrice y par n'importe quel matrice de dimension compatibles eh bien nous donne toujours la seconde matrix en fait si je multiplie à part cette matrice identité je ne change absolument pas notre matrice à le résultat est la matrice à elle même donc on peut faire l'analogie avec le scanner un qui ne changent pas le nombre lors d'une multiplication donc est ce que cette matrice qui existait est ce qu'on peut décrire plus précisément ces éléments alors pour être un peu plus concret mais on va prendre une matrice un de taille 3 3mhz jeu-là détails ici ces éléments sont 1 2 3 4 5 6 7 8 9 voilà notre matrice 3 3 donc là je te courage à faire une pause dans la vidéo a essayé par toi même à de construire cette matrice y tels que i fois à soit égal à 1 ok c'est bon alors c'est parti je donne la solution donc tu reprends notre matrice grand am 1 2 3 4 5 6 7 8 et 9 je sais que cette matrice grand a je vais là x une certaine matrice y que je cherche à construire donc je la dessine ici est donc le résultat de cette multiplication matricielle bien c'est la matrice un qui n'a absolument pas changé donc qui est toujours constitué de 1 2 3 4 5 6 7 8 et 9 le premier point qu'on peut regarder ben c'est déjà la dimension des matrices en jeu donc on a la matrice acquis une matrice de taille 3 3 donc bien sûr avant et après la multiplication l'a pas changée taille trois lignes trois colonnes pour la matrix 1 à partir de là qu'est ce qu'on peut en déduire sur les dimensions de la matrice y donc pour que cette multiplication matricielle soit défini eh bien il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde alors le nombre de lignes de la matrice ac3 et donc ici le nombre de colonnes on doit avoir pour cette matrice ça va être trois aussi et ça fait pour que la multiplication soit bien défini ensuite la matrice résultat on sait que le nombre de colonnes de la matrice résultat est déterminé par le nombre de colonnes de la seconde matrix et enfin on sait également que le nombre de lignes de la matrice résulte un octroi ici et bien c'est déterminé par le nombre de lignes de la première matrice donc nécessairement sachant qu'on a une matrice 3,3 en résulte un bien on doit avoir trois lignes dans cette première matrice et pour que l'âme est le produit matricielle soit bien défini eh bien on a également trois colonnes donc simplement en analysant les dimensions de la matrice 1 et en suivant les règles pour que le produit matricielle soit bien défini bien on peut en déduire la dimension de cette matrice identité qui a trois ligne et trois colonnes alors ensuite comment remplir cette matrice y est bien on va simplement détaillé le produit donc ce premier élément ici résultats donc l'élément qui vaut 1 et bien c'est le résultat du produit scalaires entre la première ligne de la première matrice que jean tour en jaune ici avec la première colonne de la seconde matrix donc si on fait le produit scalaires on aura quelque chose fois un plus quelque chose x 4 plus quelque chose x 7 qui est égal à donc intuitivement la solution la plus naïve j'ai envie de dire qu'on a envie de m pour remplir cette ligne eh bien ça va être un 0-0 pourquoi un 0-0 parce que ça nous donne cet élément de la manière suivante 1 x 1 + 0 x 4 + 0 x 7 donc la question c'est en ayant choisi cette première ligne est ce que on peut bien retrouver les deux autres éléments de la première ligne de la matrice résultats ah si on regarde l'élément 2 par exemple c'est le résultat du produit de cette première ligne avec la seconde colonne que jean tour ici en rose donc ça nous fait une fois 2 + 0 x 5 + 0 x 8 ça nous donne bien deux et enfin est-ce qu'on peut retrouver le troisième élément le numéro 3 ici nombre 3 eh bien on a une fois 3 + 0 x 6 + 0 x 9 en prenant la dernière colonne ici et ça nous donne bien sûr 3 donc cette première ligne reconstruit bien également la première ligne de la matrice résultat alors ensuite on va s'intéresser par exemple à la deuxième ligne avec chiffre 4 ici qu'est ce qu'on peut mettre dans cette deuxième ligne le matrix identités pour obtenir cette deuxième ligne de la matrice résultat est bien ce chiffre 4 ici et les résultats du produit de la deuxième ligne de la première matrice avec la première colonne de la seconde matrix or on voit que le résultat et 4 les quatre se trouvent au milieu de cette première colonne donc intuitivement mais on a envie de remplir cette grandes lignes de la façon suivante 0 1 0 alors on peut vérifier tout de suite ce que ça nous donne zéro x 1 0 plus 1 x 4 4 + 0 x 7 on reste toujours à 4 donc on a bien reproduits notre 4 ensuite pour le simple qu'est-ce qui se passe et bien c'est quand on multiplie cette ligne avec cette deuxième colonne donc ça fait zéro fois de plus une fois 5 + 0.8 ça fait bien cinq et pour ce dernier élément ici et bien c'est le résultat du produit ce qu'allait entre la deuxième ligne première colonne et la troisième colonne deuxième matrice donc zéro x 3,1 fois 6 et 0 x 9 on retrouve bien 6 avec ce produit scalaires la deuxième ligne c'est bien 010 enfin dernière ligne à construire dans cette matrice identité donc on va se servir du chiffre 7 ici comment reconstruire le chiffre 7 à partir du produit scalaires de cette dernière ligne et de la première colonne de la seconde matrix et encore une fois la solution la plus simple c'est de faire 0 0 1 pourquoi parce que ça nous fait zéro x 1 + 0 x 4 plus une fois cette on obtient bien cette pour avoir le 8 est ce que ça marche 0 fois de plus 0 x 5 plus une fois huit ok on retrouve notre chiffre 8 et enfin 0 x 3 + 0 voici ce plus une fois neuf et bien on retrouve bien le chiffre neuf donc la matrice identité de dimension 3 je leur ai écrit ici rien à trouver c'est tout simplement un 0 0 0 1 0 0 0 1 la voilà alors ce qui est bien avec cette matrice identité à ce qu'elle est très facile à retenir par exemple si je veux construire une matrice identité de taille de 2 donkey de deux qu'on va d'ailleurs souvent noté i 2 puisque la matrice carré la matrice identité pardon et carré eh bien ça va être et ça j'imagine que tu l'aura deviné 1 0 au 01 par exemple je peux écrire la matrice identité de dimension 4004 plein eh bien ils 4 ça va être très simplement un 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 et enfin 000 1 c'est à dire que les matrices identité de dimensions elles sont bien sûr des matrices carrés avec des seins sur toute la diagonale qui part du coin en haut à gauche pour arriver au coin en bas à droite donc pour finir cette vidéo je vais te laisser un petit exercice à faire par toi même alors on sait que la multiplication matricielle n'est pas commutative du coup quel est le résultat de l'opération suivante à la matrix un fois la matrice identité