Contenu principal

Cours : Premières technologiques > Chapitre 6

Leçon 2: Suites arithmétiques

Définir une suite arithmétique par une formule

Définir une suite arithmétique par une formule explicite ou par une formule de récurrence.

Prérequis : Savoir ce qu'est une suite arithmétique, savoir déterminer l'image d'un nombre par une fonction et savoir déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Pourquoi une formule ?

Dans la leçon précédente les suites traitées étaient données sous la forme :

3, 5, 7, …

Dans cette leçon nous allons voir comment définir une suite par une formule de récurrence ou par une formule explicite. Dans les deux cas l'intérêt est de disposer d'une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite.

n

est un entier naturel supérieur ou égal à

1

, on note

a_{n}

le terme de la suite de rang, (ou d'indice)

n

, c'est-à-dire le

n^{e}

terme de la suite. Par exemple, pour la suite arithmétique

3, 5, 7, …

$n$ ‍	$a_{n}$ ‍
Rang	$n^{e}$ ‍ terme
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

On va voir qu'une formule permet de calculer le terme $a_{n}$ ‍ quelle que soit la valeur de $n$ ‍.

À vous !

1) Les $3$ ‍ premiers termes d'une suite arithmétique, de premier terme $a_{1}$ ‍, sont $3, 5$ ‍ et $7$ ‍ Quelle est la valeur de $a_{4} ?$ ‍

a_{4} =

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3$ ‍		$5$ ‍		$7$ ‍		$9$ ‍
$a_{1}$ ‍		$a_{2}$ ‍		$a_{3}$ ‍		$a_{4}$ ‍

2) Quel que soit le naturel $n \geq 2$ ‍, que représente $a_{n - 1} ?$ ‍

Par exemple :

$n$ ‍	$a_{n - 1}$ ‍	$a_{n - 1}$ ‍ désigne :
$2$ ‍	$a_{2 - 1} = a_{1}$ ‍	Le premier terme, c'est-à-dire celui qui précède $a_{2}$ ‍
$3$ ‍	$a_{3 - 1} = a_{2}$ ‍	Le deuxième terme, c'est-à-dire celui qui précède $a_{3}$ ‍
$4$ ‍	$a_{4 - 1} = a_{3}$ ‍	Le troisième terme, c'est-à-dire celui qui précède $a_{4}$ ‍

$a_{n - 1}$ ‍ est le terme de la suite qui précède le terme $a_{n}$ ‍.

Suite arithmétique définie par une formule de récurrence

La formule de récurrence donne deux informations :

Le premier terme de la suite
La règle qui permet d'obtenir un terme de la suite à partir du terme précédent

La formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7,... est :

{\begin{cases} a_{1} = 3 & \leftarrow le premier terme est 3 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 & \leftarrow on ajoute 2 au terme précédent \end{cases}

Pour obtenir

a_{5}

, on doit calculer tous les termes précédents :

$a_{n + 1}$ ‍	$= a_{n} + 2$ ‍ si $n \geq 1$ ‍
$a_{1}$ ‍			$= 3$ ‍
$a_{2}$ ‍	$= a_{1} + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a_{3}$ ‍	$= a_{2} + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a_{4}$ ‍	$= a_{3} + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a_{5}$ ‍	$= a_{4} + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

On obtient bien la suite 3, 5, 7, ...

À vous !

Voici trois exercices pour vous entraîner.

On a noté

a_{n}

le terme de rang

n

de la suite arithmétique 3,5,7,... On peut utiliser d'autres lettres pour désigner les termes d'une suite, par exemple,

b_{n}

c_{n}

, ou

d_{n}

3) Quelle est la valeur de $b_{4}$ ‍ si la définition de la suite $(b_{n})$ ‍ est :

{\begin{cases} b_{1} = - 5 \\ b_{n + 1} = b_{n} + 9 \end{cases}

b_{4} =

La traduction de la formule de récurrence est :

Le premier terme est $- 5$ ‍, et chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de $9$ ‍.

Pour calculer

b_{4}

, on doit calculer tous les termes précédents :

$b_{n + 1}$ ‍	$= b_{n} + 9$ ‍ si $n \geq 1$ ‍
$b_{1}$ ‍			$= - 5$ ‍
$b_{2}$ ‍	$= b_{1} + 9$ ‍	$= - 5 + 9$ ‍	$= 4$ ‍
$b_{3}$ ‍	$= b_{2} + 9$ ‍	$= 4 + 9$ ‍	$= 13$ ‍
$b_{4}$ ‍	$= b_{3} + 9$ ‍	$= 13 + 9$ ‍	$= 22$ ‍

Donc, $b_{4} = 22$ ‍.

4) Quelle est la valeur de $c_{3}$ ‍ si la définition de la suite $(c_{n})$ ‍ est :

{\begin{cases} c_{1} = 20 \\ c_{n + 1} = c_{n} - 17 \end{cases}

c_{3} =

La traduction de la formule de récurrence est :

Le premier terme est $20$ ‍, et chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de $- 17$ ‍.

Pour calculer

c_{3}

, on doit calculer tous les termes précédents :

$c_{n + 1}$ ‍	$= c_{n} - 17$ ‍ si $n \geq 1$ ‍
$c_{1}$ ‍			$= 20$ ‍
$c_{2}$ ‍	$= c_{1} - 17$ ‍	$= 20 - 17$ ‍	$= 3$ ‍
$c_{3}$ ‍	$= c_{2} - 17$ ‍	$= 3 - 17$ ‍	$= - 14$ ‍

Donc, $c_{3} = - 14$ ‍.

5) Quelle est la valeur de $d_{5}$ ‍ si la définition de la suite $(d_{n})$ ‍ est :

{\begin{cases} d_{1} = 2 \\ d_{n + 1} = d_{n} + 0, 4 \end{cases}

d_{5} =

La traduction de la formule de récurrence est :

Le premier terme est $2$ ‍, et chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de $0, 4$ ‍.

Pour calculer

d_{5}

, on doit calculer tous les termes précédents :

$d_{n + 1}$ ‍	$= d_{n} + 0, 4$ ‍ si $n \geq 1$ ‍
$d_{1}$ ‍			$= 2$ ‍
$d_{2}$ ‍	$= d_{1} + 0, 4$ ‍	$= 2 + 0, 4$ ‍	$= 2, 4$ ‍
$d_{3}$ ‍	$= d_{2} + 0, 4$ ‍	$= 2, 4 + 0, 4$ ‍	$= 2, 8$ ‍
$d_{4}$ ‍	$= d_{3} + 0, 4$ ‍	$= 2, 8 + 0, 4$ ‍	$= 3, 2$ ‍
$d_{5}$ ‍	$= d_{4} + 0, 4$ ‍	$= 3, 2 + 0, 4$ ‍	$= 3, 6$ ‍

Donc, $d_{5} = 3, 6$ ‍.

Suite arithmétique définie par une formule explicite

Une formule explicite qui définit la suite de premier terme

a_{1}

et dont les

3

premiers termes sont

3, 5

7

est :

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

Pour trouver un terme de rang donné

i

, il suffit de remplacer

n

par

i

dans la formule.

Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace

n

par

5

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 \times (5 - 1) \\ = 3 + 2 \times 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

On obtient bien la bonne valeur !

À vous !

6) Calculer $b_{10}$ ‍ si le premier terme de la suite $(b_{n})$ ‍ est $b_{1}$ ‍ et si pour tout $n \geq 1$ ‍, $b_{n} = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b_{10} =

7) Calculer $c_{8}$ ‍ si le premier terme de la suite $(c_{n})$ ‍ est $c_{1}$ ‍ et si pour tout $n \geq 1$ ‍, $c_{n} = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c_{8} =

8) Calculer $d_{21}$ ‍ si le premier terme de la suite $(d_{n})$ ‍ est $d_{1}$ ‍ et si pour tout $n \geq 1$ ‍, $d_{n} = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d_{21} =

Les suites sont des fonctions

Une suite est une fonction qui au nombre naturel

n

fait correspondre un nombre noté

a_{n}

n

est toujours un entier naturel.

n

représente le numéro d'ordre d'un terme de la suite, donc il ne peut être ni un nombre négatif, ni un décimal.

Autrement dit, l'ensemble de définition d'une suite est l'ensemble des entiers naturels.

Une remarque à propos de la notation

Pour désigner le

4^{e}

terme de la suite, on a utilisé la notation

a_{4}

, Pour désigner ce terme, vous rencontrerez aussi la notation

a (4)

Les deux notations sont possibles. Certains préfèrent la notation

a (n)

à la notation

a_{n}

car elle met bien en évidence qu'une suite est une fonction.

Une question

9) Quelle est la formule qui permet de trouver le plus rapidement le $100^{e}$ ‍ terme d'une suite arithmétique ?

Si on utilise la formule de récurrence, il faut calculer tous les termes de proche en proche jusqu'au

100^{e}

. Cela sera très long !

Si on utilise la formule explicite, pour calculer le

100^{e}

terme il suffit de remplacer

n

par

100

dans la formule. Cela ne prend pas plus de temps de calculer le

1000^{e}

terme que de calculer le deuxième.

Donc c'est la formule explicite qui permet de trouver le plus rapidement le $100^{e}$ ‍ terme d'une suite arithmétique.

Un dernier exercice

10)

(u_{n})

est une suite arithmétique de premier terme

u_{1}

. Quel que soit

n \geq 1

u_{n} = 3 - 4 (n - 1)

Quel est le rang du terme de la suite égal à $- 65 ?$ ‍

Rang de ce terme :

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.