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Cours : Premières technologiques > Chapitre 4

Leçon 3: Opérations sur les puissances

Les puissances et les priorités de calcul FAQ

Foire aux questions sur les puissance et les priorités des opérations

Qu'est-ce qu'une puissance $?$ ‍

Une puissance est une façon d'écrire une multiplication répétée. Par exemple,au lieu d'écrire

2 \times 2 \times 2 \times 2

, nous pouvons écrire

2^{4}

qui se lit

2

puissance

4

. Le nombre

2

est appelé la base et le nombre

4

la puissance. La puissance nous indique le nombre de fois où le nombre est multiplié par lui-même. Donc,

2^{4}

signifie

2 \times 2 \times 2 \times 2

, qui est égal à

16

. Les puissances sont utiles pour écrire de grands nombres ou pour comparer des nombres composés de nombreux facteurs.

Pourquoi avons-nous besoin des puissances $?$ ‍

Les mathématiciens, voulant rendre leur travail plus facile et plus rapide, ont inventé les puissances. Supposons que vous deviez lire ou écrire le nombre

1 000 000 000 000

. Cela vous prendrait beaucoup de temps et de mots, n'est-ce pas

?

En utilisant une puissance, il suffira de lire "dix puissance douze" et de l'écrire

10^{12}

\underset{12 facteurs}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}}

Vous voyez en quoi l'utilisation d'une puissance permet une écriture plus courte et plus simple.

Les puissances sont utilisées pour écrire et comparer des nombres très grands ou très petits, comme la taille de l'univers, la vitesse de la lumière, la population mondiale ou la masse d'un atome.

Les puissances sont aussi utilisées pour modéliser et prédire des situations de croissance ou de décroissance, comme les intérêts d'un placement sur un compte bancaire, la propagation d'un virus, la durée de vie d'une batterie ou la période (ou demi-vie) d'une substance radioactive.

Comment calcule-t-on la puissance d'un nombre $?$ ‍

Pour calculer la puissance d'un nombre, on multiplie ce nombre par lui-même autant de fois que l'indique l'exposant. Par exemple :

\begin{aligned} 3^{2} & = \underset{2 facteurs}{\underset{⏟}{3 \times 3}} \\ = 9 \end{aligned}

La puissance d'une fraction ou d'un nombre décimal se calcule de la même façon que celle d'un nombre entier : on multiplie la base (qui est alors une fraction ou un nombre décimal) par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant. Par exemple :

\begin{aligned} {(\frac{5}{2})}^{3} & = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \\ = \frac{125}{8} \end{aligned}

Quelle est l'origine des priorités des opérations $?$ ‍

La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer les calculs dans une suite d'opérations. Ce n'est donc pas une loi universelle ou naturelle mais une invention humaine qui s'est développée au fil du temps et des cultures. Chaque peuple avait sa propre façon d'organiser et d'exprimer les opérations mathématiques, en fonction de ses besoins, de ses préférences et de ses traditions.

Par exemple, dans l'Inde ancienne, les mathématiciens utilisaient un système de symboles et de règles appelé siddhanta, qui comprenait les concepts de zéro (comme la différence d’un nombre par lui-même), de nombres négatifs (en termes de pertes et de profits), de fractions, d'algèbre et de trigonométrie. Ils suivaient un ordre général d'opérations similaire à l'ordre moderne en donnant la priorité aux puissances, suivies des racines, puis de la multiplication et de la division, et enfin de l'addition et de la soustraction.

Dans la Chine antique, les mathématiciens utilisaient un système de baguettes en bambou et de caractères pour représenter les nombres et les opérations, ainsi qu'un boulier pour effectuer les calculs. Ils utilisaient également un ordre général des opérations similaire à celui que nous utilisons, à ceci près qu'ils donnaient à la multiplication et à la division la même priorité qu'à l'addition et à la soustraction et qu'ils utilisaient des parenthèses pour indiquer l'ordre des expressions imbriquées.

Dans l'Égypte ancienne, les mathématiciens utilisaient un système de hiéroglyphes et de fractions pour représenter les nombres et les opérations ainsi qu'un papyrus ou une ardoise pour effectuer les calculs. Ils n'avaient pas d'ordre fixe pour les opérations, mais se fiaient plutôt au contexte et au type du problème pour déterminer la suite des étapes. Ils utilisaient souvent des fractions unitaires (fraction dont le numérateur est un) pour simplifier les fractions complexes et employaient la méthode de la fausse position pour résoudre les équations (on ne pose pas l'équation mais on utilise la proportionnalité en partant d'une "fausse position" (une valeur possible pour l'inconnue) et en corrigeant cette valeur pour obtenir la solution).

L'histoire des priorités des opérations utilisées dans le monde entier remonte aux XVIe et XVIIe siècles, avec des mathématiciens tels que François Viete, René Descartes et Gottfried Leibniz qui ont développé la notation algébrique moderne et les règles de manipulation des puissances et des racines. Ils ont également introduit l'utilisation de parenthèses pour indiquer le regroupement et la priorité des opérations. Cependant, il n'y a pas eu d'accord universel sur l'ordre de la multiplication et de la division, ou de l'addition et de la soustraction, jusqu'au 19e siècle.

La première mention explicite de l'ordre des opérations dans un manuel a été faite en 1917 par David Eugene Smith et William David Reeve dans leur livre " A First Course in Algebra ". Ils ont utilisé le terme " hiérarchie des opérations " et ont déclaré que " les opérations entre parenthèses doivent être effectuées avant toutes les autres ; ensuite, parmi les opérations restantes, celles indiquées par les exposants, les radicaux ou le vinculum doivent être effectuées avant la multiplication ou la division, et celles-ci avant l'addition ou la soustraction ". Le terme " vinculum " désigne une ligne horizontale qui regroupe des termes, comme

\overset{―}{a + b}

, qui doivent être considérés comme formant un tout.

L'acronyme PEMDAS a été popularisé par William Betz en 1958 dans son ouvrage " Arithmetic, A Modern Approach " pour retenir l'ordre de la priorité des opérations : Parenthèses, Exposants, Multiplication et Division, Addition et Soustraction. Mais attention ! La multiplication et la division sont d'égale priorité et il en est de même pour l'addition et la soustraction. Et souvenez-vous que lorsque les opérations sont d'égale priorité, on les effectue de gauche à droite, dans le sens de la lecture.

Quand est-ce-que nous ne suivons pas obligatoirement les priorités opératoires $?$ ‍

Suivre les priorités des opérations est une des méthodes pour calculer une suite d'opérations, mais on peut aussi utiliser les propriétés de l'addition et de la multiplication, pour faire des groupements qui nous facilitent la vie.

La distributivité de la multiplication sur l'addition est une règle qui permet de décomposer une multiplication car le résultat d'une multiplication ne change pas si on réécrit l'un des facteurs sous la forme d'une somme de deux nombres. Par exemple, si on doit calculer $8 \times (20 + 5)$ ‍, on peut calculer $8 \times 20 + 8 \times 5$ ‍ ou $8 \times 25$ ‍.
La commutativité de l'addition signifie que l'on peut changer l'ordre des termes dans une addition, on n'est pas obligé d'effectuer les calculs de gauche à droite. Par exemple, si on doit calculer $2, 5 + 10 + 7, 5$ ‍, on peut d'abord calculer $2, 5 + 7, 5 = 10$ ‍ puis ajouter $10$ ‍. Cette propriété sera très utile lorsque nous aurons affaire à des nombres négatifs car nous apprendrons alors à réécrire les calculs en remplaçant la soustraction par l'addition. Par exemple, $- 7 + 5 = 5 + (- 7)$ ‍.
La commutativité de la multiplication signifie que l'on peut changer l'ordre des facteurs, on n'est pas obligé d'effectuer les calculs de gauche à droite. Par exemple, si on doit calculer $5 \times 10 \times 12$ ‍, on peut calculer $5 \times 12 = 60$ ‍, puis multiplier par $10$ ‍. Lorsque nous en saurons plus sur l'inverse d'un nombre, nous pourrons réécrire les calculs en remplaçant la division par la multiplication.

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