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Valeur de la dérivée et tangente à la courbe représentative de la fonction

Il s'agit de s’exercer à lire sur un graphique le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction.

Transcription de la vidéo

bonjour on va faire ensemble un de ces exercices que tu pourras refaire après de ton côté sur la plateforme de la khan academy on nous dit qu'on nous donne la courbe représentatives de la fonction j'ai donc c'est cette courbe qui est tracée dans ce repaire ici d'après cette courbe des primes de 2 peut être égal à et on nous donne plusieurs valeurs parmi lesquelles il faut choisir alors évidemment la première chose à faire c'est bien comprendre ce qu'on nous demande et en particulier de comprendre ce que signifie cette écriture l'ag prime de 2 alors en général de symboles prime qui est ici en mathématiques en analyse surtout c indiquent en général la dérive est donc ce qui est ici en fait c'est le nombre dérivé de la fonction j'ai au point d'apsys x égal 2 j'ai pris le 2 2 donc on nous demande en fait d'évaluer le nombre dérivé de la fonction j'ai au point d'abc 6 égale à 2 alors ce qu'on avait vu dans d'autres vidéos c'est que le nombre d'arrivées au point d'un psy 6 égale à 2 de la fonction g et bien c'est la pente on peut le voir comme ça ça c'est la pente de la tangente la pente de la tangente à la courbe la pente de la tangente à la courbe au point d'abc 6 égale à deux donc pour x égal 2 voilà donc ça c'est une façon de voir la signification de cette notation qui est ici est ce qu'on avait vu aussi c'est que en fait cette pente de la tangente et bien on pouvait la voir comme un taux de variation instantané de la variable y par rapport à la variable x ont ce point d'abc 6 égale 2-2 donc ça c'est aussi le taux de variation le taux de variation instantané de la variable y de la variable y par rapport à la variable x par rapport à x au point d'abc 6 égal 2 donc en x égal 2 voilà alors ici on va se servir de ces deux façons de voir cette de comprendre cette expression l'ag prime de 2 en fait ce que je vais faire c'est tracé à peu près une tangente au point d'abc 6 égal 2 alors ici le point d'abc 6 égal 2 il nous est déjà tracée 1x égal 2 c'est ici donc le point de la courbe correspondant c'est celui là qui est noté ici donc ce que je vais faire ses traces et une tangente à la courbe en ce point à peu près ce que ce qu'on nous demande c'est une estimation de ce nombre dérivés geprim 2 2 on me dit on nous demande à quoi ça peut être égal et ensuite j'avais calculé le taux de variation de cette tangente estimé le taux de variation de cette tangente plus tôt donc ce que je vais faire c'est tracer une tangente le plus proprement possible à peu près qui passe par ce point là donc une droite qui touche la courbe en ce point ci alors je vais le faire comme ça voilà à peu près voilà c'est à peu près ça maintenant ce que je vais faire c'est calculé le taux de variation de cette tangente c'est à dire la pente de cette droite cet argent c'est une droite et je vais en calcul et la pente alors pour ça il faut que je regarde de combien la variable y augmente quand la variable x augmente par exemple deux unités donc ici je vais considérer une variation de une unité des abscisses de la variable x en abscisse donc ici c'est elle taïx et puis je vais regarder ce qui se passe pour la variable y quand j'ai augmenté la variable x2 une unité et pour ça je vais calculer la variation des y alors je fus partie de cette ordonné la et j'arrive à celle là voilà donc ça ici c'est delta y et maintenant la pente de la tangente eh bien je vais la calculer tout simplement comme étant le rapport entre la variation de la variable y par rapport à la variation de la variable x donc delta y delta y / delta x alors ici delta y on voit que ces trois unités à peu près à peu près trois unités donc je vais plutôt mettre un symbole à peu près égale voilà sera plus exact est donc ce que je disais c'est que delta y est à peu près égale à 3 environ égal à 3 et puis delta x lui est égal à 1 donc la pente de ma tangente bien ces trois sur un an à peu près c'est à dire 3 donc finalement la réponse que je vais choisir c'est celle-là j'ai prime de 2 peut être égal à 3 alors une petite remarque ce qu' il y avait des réponses qu'on pouvait éliminer d'office c'était celle ci - 3 et -0 25 parce que dans ce cas là ça voudrait dire que la tangente à une pente négative donc que la tangente et décroissante et si la tangente et décroissante ça veut dire que en ce point là la fonction elle même est décroissante or ici on voit bien que la fonction g et croissante surtout son ensemble de définition donc ces deux là pouvaient être éliminés d'office une à une autre qui pouvaient être éliminés d'office c'est celle ci c'est zéro puisque si la tangente à une pente égal à zéro et bien ça veut dire que c'est une droite horizontale et donc que en ce point là il n'y a pas de variation la variation est nulle et en fait ici le seul point de la fonction g ou la tangente nuls et bien c'est le point d'abc 0 qui est celui ci voilà alors on va en faire encore un on y va on va faire celui-ci maintenant on donne la courbe représentatives de la fonction j'ai donc celle-ci citera c'est une sorte de sinusoïde le symbole d'inégalité à placer entre ces deux valeurs et j'ai prime de 4 g prime de 6 en gros nous demande de comparer ces deux nombres dérivés le nombre des arrivées au point d'un psy 6 égal à 4 et le nombre des arrivées au point d'apsys x égale à 6 alors le point d'abc 6 égale 4 il est ici et le point 9 6 x égale 6 il est là alors ça c'est le nombre dérivé de la fonction j'ai au point d'abc 6 égale 4 donc c'est la pente de la tangente au point d'abc 6 égal à 4 alors je vais essayer de tracer cette tangente à peu près proprement voilà à peu près à tangente ce sera une droite qui va être à peu près comme ça et puis ce nombre là j'ai prime de 6 c'est le nombre d'arrivées de la fonction j'ai au point d'abc 6 égale 6 donc c'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abc 6 et galsi alors j'ai tracé un bout de cette tangente voilà pas très facile à tracer parce que la courbe est très pencher un décroît très rapidement mais ça donne à peu près ça alors ici on peut procéder comme tout à l'heure en fait j'ai essayé de calculer les pentes de ces deux tangente c'est à dire les taux de variation de la variable y par rapport à la variable x pour ces deux droites là alors ici si j'augmente la variable de une unité j'arrive là donc ça c'est delta x et puis là variations désordonnées correspondante c'est celle là donc ça c'est delta y donc finalement camp delta x est égal à 1 x augmente d'une unité et bien delta y va être égal à moins puisque la ici on a une diminution de une unité de la variable y ça veut dire que la pente de cette tangente la pente de cette tangente et bien c'est delta y sur delta x la variation d y apporter à la variation de la variable x et bien cette pente elle est à peu près égale alors on a dit que delta y était égal à peu près à moins un et delta x est égal à 1 finalement la pente de cette tangente elle est à peu près égale à - 1 sur 1 c'est-à-dire moins 1 voilà alors on va faire exactement le tram le même travail avec cette 2e tangente je vais prendre une augmentation de une unité de la variable x donc voilà ça c'est mon delta x et puis je vais regarder la variation correspondante de désordonné donc de la variable y qui est que je peux voir ici ici donc ça c'est delta y ait ici on voit que quand delta x est égal à 1 la variable x augmente de une unité est bien là variables y elle va diminuer aussi et puis elle va diminuer à peu près de une deux trois unités alors un peu moins de 3 donc on va dire à peu près de 2,8 ce qui veut dire que delta y sera à peu près égale à moins de 8 donc la pente de cette tangente la lapentti 6 de cette tangente et bien c'est comme d'habitude delta y la variation de y rapporter à la variation des de la variable x et ça ça va être environ égal alors delta y on a dit que c'était à peu près moins 2,8 et delta xc 1 une unité donc finalement cette tangente là elle a une pente de environ -2 8 moins de 8 sur un c'est à dire moins de 8 donc maintenant on peut répondre à cette question puisque j'ai prime de 4 on a vu que c'était à peu près égale moins un et j'ai prime de 6 et à peu près égale à moins 2,8 donc finalement j'ai prime de 4 est plus grand que j'ai prime de 6 donc ce qu'il faut cocher ces ca supérieur strictement supérieure alors une petite remarque ce que on pouvait répondre à cette question directement sans faire tous ces calculs évidemment en faisant les calculs on a une certitude encore plus grande mais là en regardant la courbe ce qui se passe c'est que en ce point si la courbe décroît plus rapidement on voit bien que elle descend plus vite que en ce point si ce qui veut dire que la pente de cette tangente là est plus grande en valeur absolue que celle là c'est plus par la courbe est plus penché ici que là et comme on est dans une partie où la courbe est décroissante et bien la pente ici est plus petite que la pente la voilà on pouvait au moins présumé de la réponse sans faire les calculs et c'est toujours intéressant de regarder les courbes comme ça de cette manière là ici on voit que on a une sorte de sinusoïde c'est un phénomène périodique on voit que ici la courbe bon avec tes croissante donc la pente de la tangente va être positive ici on arrive à un point où la tangente et horizontale bockel un coefficient directeur nul ensuite elle est décroissante et elle décroît de plus en plus rapidement on peut le voir ici comme ça voilà elle décroît de plus en plus rapidement et puis quand on arrive ici la décroissance se ralentit décroît de moins en moins vite ce qui veut dire que la tangente à une pente de moins en moins négative on peut dire ça comme ça jusqu'à ce point là où elle est de nouveau horizontale c'est à dire que la tangente ici à un coefficient directeur nul ensuite la courbe est de nouveau croissante avec une pente qui augmente rapidement voilà et quand on arrive par ici et bien la pente diminue la pente 10 minutes pour finalement être nul en ce point là où la tangente et horizontale et on est ensuite ça recommence exactement comme ici voilà je t'engage a toujours bien regarder les courbes bien étudié les courbes qu'on te donne parce que cette étude là te permettra de valider tes réponses et de voir si elles sont cohérentes avec ce qu'on te donne à bientôt