Introduction

Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer l'écart-type « à la main ».
Dans la pratique, aucun statisticien ne calcule l'écart-type à la main. Les calculs impliqués sont quelque peu complexes, et le risque de se tromper est grand. Le calcul à la main est long. Très long. C'est pourquoi les statisticiens utilisent un tableur ou un logiciel pour faire les calculs.
Alors, pourquoi cette leçon ? Pourquoi apprendre un calcul à la main que les statisticiens ne font pas ? Parce qu'apprendre à faire des calculs à la main permet de mieux comprendre comment interpréter l'écart-type. Au lieu de considérer l'écart-type comme un nombre magique surgi d'un tableur ou d'un logiciel, nous serons en mesure d'expliquer ce nombre.

Comment calculer l'écart-type

La formule de l'écart-type est
σ=i=1nxiμ2n\Large σ = \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{\lvert x_i-\mu\rvert^2}}}{n}}
\sum signifie "somme de", xix_i désigne une valeur de la série statistique, μ\mu sa moyenne arithmétique et nn son effectif.
Pour calculer l'écart-type, on procède ainsi :
1 - On calcule a moyenne arithmétique de la série.
2 - On calcule le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série.
3 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4 - On divise par l'effectif de la série.
5 - On calcule la racine carrée du résultat.

Remarque

La formule concerne le calcul de l’écart type d’une population. Si on veut calculer l'écart-type d'un échantillon, il faut diviser par n1n-1 et non par nn, nn étant l'effectif de l'échantillon.

Le calcul étape par étape de l'écart-type : exemple

Prenons par exemple la série statistique suivante dont l'effectif est de petite taille :
6,2,3,16, 2, 3, 1

1 - On calcule μ\goldD{\mu} dans i=14xiμ24\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{\lvert x_i-\goldD{\mu}\rvert^2}}}{4}}

μ\mu est la moyenne arithmétique de la série.

2 - On calcule les valeurs de xiμ2\goldD{\lvert x_i - \mu \rvert^2} dans i=14xiμ24\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4}{\goldD{{\lvert x_i-\mu}\rvert^2}}}{4}}

Il s'agit de calculer le carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne.
Par exemple, la première valeur de la série est 66 et la moyenne est 33, donc la valeur absolue de leur écart est 33. Son carré est 99.

3 - On calcule xiμ2\goldD{\sum\lvert x_i - \mu \rvert^2} dans xiμ24\sqrt{\dfrac{\goldD{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x_i-\mu}\rvert^2}}}{4}}

Le symbole \sum signifie "somme", on calcule donc la somme des quatre valeurs obtenues à l'étape 2.

4 - On calcule xiμ24\goldD{\dfrac{\sum\lvert x_i - \mu \rvert^2}{4}} dans i=14xiμ24\sqrt{\goldD{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{\lvert x_i-\mu}\rvert^2}}{4}}}

On divise le résultat obtenu à l'étape 3 par l'effectif de la série, NN.

5 - On calcule l'écart-type i=14xiμ24\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{\lvert x_i-\mu\rvert^2}}}{4}}

C'est presque terminé ! Il faut maintenant calculer la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 4.
Nous avons calculé l'écart-type d'une série de petite taille.

Résumé de ce que nous avons fait

Nous avons calculé l'écart-type en 5 étapes :
1 - calcul de la moyenne μ\mu.
μ=6+2+3+14=124=3\mu = \dfrac{6+2 + 3 + 1}{4} = \dfrac{12}{4} = \blueD3
2 - Calcul du carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne xμ2\lvert x-\mu\rvert^2.
xix_ixiμ2\lvert x_i - \mu \rvert^2
66632=32=9\lvert6-\blueD{3}\rvert^2 = 3^2 = 9
22232=12=1\lvert2-\blueD{3}\rvert^2 = 1^2 = 1
33332=02=0\lvert3-\blueD{3}\rvert^2 = 0^2 = 0
11132=22=4\lvert1-\blueD{3}\rvert^2 = 2^2 = 4
Steps 3, 4, and 5:

Á vous

Rappel de la formule :