Probabilité conditionnelle et schéma en arbre

lors d'un recrutement une entreprise souhaite vérifier si les candidats ont déjà fait usage de drogue le test utilisé n'est pas complètement fiable dans 2% des cas la personne peut être déclarée positive à tort et dans 1 % des cas elle peut être déclarée négative par erreur on suppose que la proportion des candidats qui ont fait usage de drogues et de 5% on choisit un candidat au hasard et sachant que ce candidat est testé positif quelle est la probabilité qu'il est effectivement consommé de la drogue alors avant d'aborder ce problème il faut bien être sûr d'avoir compris la situation on a donc un test qui va sanctionner si une personne à utiliser de la drogue ou pas mais ce test n'est pas complètement fiable on nous dit que dans 2% des cas la personne peut être déclarée positive à tort ça veut dire que dans 2% des cas le test peut dire qu'une personne a consommé de la drogue alors qu'elle n'en a pas consommé et puis il ya une autre marge d'erreur c'est que dans 1 % des cas elle peut être déclarée négative par erreur c'est à dire que dans 1 % des cadres un cas sur cent le test peut dire qu'une personne n'a pas consommé de drogue alors qu'elle en a déjà consommé voilà ça c'est vraiment la situation qu'il faut bien comprendre puis une autre indication qu'on nous donne c'est que la proportion des candidats qui ont fait usage de drogues et de 5% ça ça peut venir par exemple d'une étude générale sur la proportion de gens qui ont déjà fait usage de drogues en général dans la population on choisit un candidat au hasard on sait que ce candidat est testé positif donc d'après le test il a consommé de la drogue avec les marges d'erreur dont on a parlé avant et on se demande quelle est la probabilité qu'il est effectivement consommé de la drogue alors il ya quelque chose qu'on peut toujours faire et qui permet quand même de clarifier un peu les idées c'est de se mettre dans le cas où on a une certaine population de taille donnée alors évidemment on va prendre une taille de population facile à calculer un donc ici je vais prendre par exemple dix mille personnes on va supposer que on a dix mille personnes en tout sur ces dix mille personnes ce qu'on nous dit ici c'est qu'il y en a 5 % qui font effectivement usage de drogue donc je peux faire une première branche ici je vais avoir donc 5% de cette population qui fait usage de drogue alors 5% de 10000 c'est facile à calculer dix mille 10 pour cent dix mille ça serait 1000 donc 5 % ces cinq cents personnes 500 personnes sur ses dix mille qui font effectivement usage de drogue et puis tous les autres dont 95% ne font pas usage de drogue donc j'ai une deuxième branche ici je vais décrire comme ça c'est 95% de ses dix mille personnes ne font pas usage de drogue et on peut aussi calculer combien ça représente donc la ses 9500 c'est tout simplement les 10000 - les 500 qui effectivement consomment de la drogue et puis ensuite on va regarder ce qui se passe on va se concentrer sur ce groupe là ce qui effectivement consomme de la drogue si je les fais passer le test qu'est ce qui va se passer normalement si le test était complètement fiable et bien tout cela devrait être testé positif mais c'est pas le cas c'est pas ce qui se passe puisque on nous dit que dans 1 % des cas une personne qui consomme de la drogue peut être déclarés négatifs par erreur donc ici parmi ses 500 personnes quand je les teste j'en ai un pour cent 1 % qui va être testé négatif je vais l'écrire comme ça qui va être testé négatif et du coup évidemment ceux qui sont testés positifs et bien c'est tout les autres donc ses 99 % de ses cinq sens là donc c'est 99 % vont être testés positifs alors ici on peut calculer combien de personnes ça représente 1% de 500 ces cinq personnes donc ici c'est cinq personnes et puis du coup les 99% qui reste eh bien c'est 495 personnes alors maintenant qu'on sait combien il ya de personnes qui sont testés positif là-dedans eh bien on peut en calculer le pourcentage c'est 495 divisé par dix mille donc ça on peut dire que c'est 4,95 % et ici on pourrait faire le calcul aussi cinq sur dix mille ça fait 0 0 5% alors ça c'est ce qui se passe quand on teste ce groupe là donc des gens qui effectivement consomment de la drogue maintenant on va regarder ce qui se passe quand je fais passer le test à des personnes de ce groupe là qui ne consomme pas de drogues donc ici normalement le test devrait les déclarés négatifs mais on a vu que dans 2% des cas c'est cette partie là dans 2% des cas la personne peut être déclarée positive alors qu'elle n'a pas consommé de drogue donc ici dans ce groupe là j'en ai 2 % 2 % qui vont être testés positifs et puis tous les autres donc les 98 % restants ils vont être testés négatifs alors comme tout à l'heure on peut calculer le nombre de personnes 2 % de 9500 alors 1% de 9500 ça serait 95 donc 2% ses 190 g 190 personnes qui ne consomme pas de drogues mais qui sont testés quand même positif au test et puis du coup ici eh bien tous les autres c'est-à-dire 9500 -190 ça fait neuf mille trois cent dix personnes qui sont testées négatives alors là ici aussi on peut calculer les pourcentages respectifs ici 190 personnes sur les 10000 ça nous donne un pourcentage de 1,9 à 90% 1,9 voilà et puis 9310 sur 10000 ça nous donne un pourcentage de 93 93,1 93 10 % voilà alors il ya une chose qu'on peut remarquer c'est que là j'ai calculé les pourcentages en rapportant l'effectif de chaque groupe à la population totale mais j'aurais pu le faire aussi en multipliant les pourcentages qui sont sur chaque branche donc ici si je calcule 5 % x 99 % ça me donne 4,95 ça je peux l'écrire ici si tu veux ça assez 5 % x 99 % ça c'est une idée intéressante à retenir quand tu fais le produit des pourcentages qui sont sur chaque branche tu obtiens ce pourcentage qui est au bout de la branche donc ici en fait c'est 5 % x 1 % et ça fait effectivement 0 0 5% là c'est pareil 95% faut deux pour cent ça donne un point 90% et 95% x 98 % ça donne 93 10 % autrement dit on aurait pu tout à fait se passer de fixer la taille de la population au départ on est simplement travailler avec ces pourcentages on aurait obtenu exactement les mêmes pourcentages ici au bout de chaque branche voilà alors là on a quand même pas mal débroussailler la situation je t'engage vraiment te concentrer sur ce schéma qui est très pratique c'est un schéma en arbre qui va être vraiment très très utiles dont on va servir tout le temps quand on a des probabilités conditionnelles ici ce qu'on nous demande on choisit donc un candidat au hasard dans cette population ici au départ et on sait qu'il est testé positif on se demande quelle est la probabilité qu'il est effectivement consommé de la drogue alors s'il est testé positif il ya deux cas possibles un soin c'est quelqu'un qui a effectivement consommé de la drogue et qui est testé positif soit c'est quelqu'un qui n'a pas consommé de drogue mais qui est quand même testé positif à cause de la marge d'erreur du test utilisé donc cessons ces deux branches là qui nous intéresse alors on peut regarder en termes d'effectifs aussi si tu veux pour regarder combien de personnes ça représente donc là j'ai repéré les gens qui sont testés positifs mais ceux qui ont effectivement consommé de la drogue ils sont ici dans cette branche là ceux là sont testés positifs mais ils n'ont jamais consommé de drogue donc c'est pas ce qui nous intéresse alors qu'on va regarder maintenant c'est combien de personnes sont testés positifs en tout et bien j'en ai 495 ici et 190 donc au total j'ai 495 + 190 personnes qui sont testés positifs est en fait la proportion de ceux qui ont effectivement consommé de la drogue là dedans et bien c'est uniquement cela donc c'est 495 voilà alors ça ça va me donner un nombre qui va représenter la probabilité que ce candidats testés positifs est effectivement consommé de la drogue alors je vais le calculer avec la calculatrice je vais avoir alors 495 +190 ça fait 6 185 donc j'ai 495 / 685 et ça me donne ce nombre 0,60 12,26 je vais arrondir à 0,72 donc à peu près 72% 72% obtenir aussi ce résultat en utilisant uniquement les pourcentages donc en faisant abstraction de l'effectif total de la population tout simplement en calculant ce pourcentage on sait que 4 95% des candidats sont testés positifs et ont effectivement consommé de la drogue et on doit rapporter ça à tous ceux qui sont testés positif c'est-à-dire à 1,90 pour cent plus 4,95 % voilà effectivement si tu calcules ça est bien évidemment tu va obtenir le même résultat qu ici alors que ça peut paraître un petit peu bizarre parce que ici on a marge d'erreur du test qui est quand même très faible 2 % des cas sont déclarées positives à tort donc ce test paraît quand même très fiable mais en fait la proportion qu'on obtient ici c'est 72 % de gens qui sont testés positifs et qu'ils ont effectivement consommé de la drogue donc c'est un pourcentage qui finalement n'est pas si élevé que ça d'ailleurs on peut regarder ce serait intéressant de regarder quelle est la probabilité qu'une personne soit testée positive alors qu'elle n'a pas consommé de drogue alors je vais faire ce calcul là aussi ici donc le nombre de personnes testées positives c'est toujours le même c'est 495 +190 et puis si on va regarder maintenant ceux qui n'ont pas consommé de drogue là dedans ce sont ces 190 ici donc la probabilité d'être testé positif sachant qu'on n'a pas consommé de drogue eh bien c'est ce nombre-là 190 sur 495 +190 est ce qu'on va obtenir bien c'est le complémentaire de ses 72 % c'est-à-dire 28% 28% voilà si tu veux on peut faire le calcul avec la calculatrice 495 +190 ça fait 6 185 ça on l'avait vu tout à l'heure donc 190 / 685 ça fait voilà environ 28% c'est quand même très intéressant et ça montre bien qu'il faut quand même se poser un peu des questions devant des situations comme ça imagine par exemple que tu sois dans un tribunal et que l'on accuse d'avoir consommé de la drogue on te fait faire ce test est tué déclaré positif donc tous les jurés conclut effectivement que tu a consommé de la drogue puisque tu es testé positif ça serait vrai si le test était complètement fiable alors les jurés peuvent dire oui mais il est presque fiable mais en fait comme on vient de le voir il se peut très bien que tu fasse partie de ses 28% là c'est à dire presque une personne sur trois qui est déclarée positive alors qu'elle n'a jamais consommé de drogue voilà donc c'est comme tu vois c'est vraiment une situation qui mérite d'être réfléchi et même si le test ici pareil quand même très fiable mais bien il faut quand même étudier la situation un peu plus près