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Le plus grand diviseur commun de deux expressions littérales

Trouver le plus grand diviseur commun de deux ou de plusieurs monômes.

Les prérequis

Un monôme est une expression de la forme a, x, start superscript, n, end superscript ou a est un nombre réel et n un entier naturel. Exemple : 3, x, squared. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Pour obtenir la décomposition maximale d'un monôme on décompose le coefficient numérique en un produit de facteurs premiers et on écrit la partie littérale sous forme d'un produit de facteurs d'exposant 1. Reportez-vous à la leçon Diviser un monôme par un autre monôme .

Le sujet traité

Dans cette leçon on va apprendre à trouver le plus grand diviseur commun de deux monômes (et de plusieurs monômes).

Rappel : le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux entiers

Le plus grand diviseur commun (PGCD) de deux nombres entiers est le plus grand entier qui divise à la fois les deux nombres. Par exemple, le PGCD de 12 et de 18 est 6.
Pour trouver le PGCD de deux entiers on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers de ces entiers :
  • 12, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10
  • 18, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, times, 3
On constate que le facteur start color #11accd, 2, end color #11accd apparait dans les deux décompositions et que start color #e07d10, 3, end color #e07d10 apparait aussi dans les deux décompositions. Ce sont donc deux diviseurs communs à 12 et à 18. Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est donc le produit de ces deux nombres premiers : start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, equals, 6.

Le plus grand diviseur commun de deux ou plusieurs monômes

On procède de la même façon pour trouver le plus grand diviseur commun à deux monômes.
On trouve la décomposition maximale de chaque monôme, puis on cherche les facteurs communs apparaissant dans ces décompositions. Le monôme égal au produit de ces facteurs communs sera le plus plus grand commun diviseur des monômes.
On va prendre comme exemple les deux monômes 10, x, cubed et 4, x :
  • 10, x, cubed, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 5, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, x, times, x
  • 4, x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, times, 2, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Le facteur start color #11accd, 2, end color #11accd apparaît une fois dans les décompositions maximales de 10, x, cubed et 4, x, et le facteur start color #e07d10, x, end color #e07d10 une fois également. On en déduit que le plus grand diviseur commun des deux monômes est : start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10 qu'on écrit 2, x.

À vous !

1) Quel est le plus grand diviseur commun de 9, x, squared et 6, x?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

2) Quel est le plus grand diviseur commun de 12, x, start superscript, 5, end superscript et 8, x, cubed?
 

3) Quel est le plus grand diviseur commun de 5, x, start superscript, 7, end superscript, 30, x, start superscript, 4, end superscript, et 10, x, cubed, space, question mark
 

Comment trouver la partie littérale du plus grand diviseur commun de deux monômes sans avoir à utiliser la décomposition maximale de ces monômes

La partie littérale du plus grand commun diviseur de deux ou de plusieurs monômes est égale à la partie littérale du monôme ayant le plus petit exposant.
Soient les deux monômes start color #11accd, 6, end color #11accd, start color #e07d10, x, start superscript, 5, end superscript, end color #e07d10 et start color #11accd, 4, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10:
  • La partie littérale ayant le plus petit exposant est start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, donc ce sera la partie littérale du plus grand diviseur commun.
  • On détermine alors le PGCD de start color #11accd, 6, end color #11accd et de start color #11accd, 4, end color #11accd, qui est égal à start color #11accd, 2, end color #11accd, on le multiplie par la partie littérale trouvée précédemment start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 et on obtient le plus grand diviseur commun des deux monômes : start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10 !
Pour 6 et 4 c’est 2Les parties litteˊrales sont x5 et x2. Celle qui a le plus petit exposant est x2On obtient 2x2\begin{aligned} \text{Pour }\blueD 6\text{ et }\blueD 4\text{ c'est }\blueD 2\qquad&\quad\text{Les parties littérales sont }\goldD{x^5}\text{ et }\goldD{x^2}\text{. Celle qui a le plus petit exposant est }\goldD{x^2} \\ \searrow\quad&\quad\swarrow \\ \LARGE\text{On obtient }\blueD 2&\LARGE \goldD{x^2} \end{aligned}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}
Cette méthode est particulièrement utile lorsqu'on cherche le plus grand diviseur commun de monômes dont les parties littérales ont de très grands exposants. Par exemple, il serait beaucoup trop long d'utiliser la décomposition maximale des monômes 32, x, start superscript, 100, end superscript et 16, x, start superscript, 88, end superscript pour trouver leur plus grand diviseur commun !

Un dernier exercice

4) Quel est le plus grand diviseur commun de 20, x, start superscript, 76, end superscript et 8, x, start superscript, 92, end superscript, space, question mark
 

5) Quel est le plus grand diviseur commun de 40, x, start superscript, 5, end superscript, y, squared et 32, x, squared, y, cubed, space, question mark