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Secondes professionnelles

Cours : Secondes professionnelles > Chapitre 9 

Leçon 2: Volume
Mathématiques
Secondes professionnelles
Domaine Géométrie : Les solides usuels
Volume
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Volume d'un solide - Formulaire

Google Classroom
Les formules du volume d'un pavé droit, d'un prisme à base triangulaire, d'un cylindre, d'une pyramide, d'un cône et d'une sphère.
On peut avoir l'impression qu'il y a beaucoup de formules de calcul du volume d'un solide, mais un certain nombre de ces formules ont la même structure.

La famille des prismes

start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, p, r, i, s, m, e, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, start text, a, i, r, e, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, end color #0c7f99, right parenthesis, times, left parenthesis, start color #ca337c, start text, h, a, u, t, e, u, r, end text, end color #ca337c, right parenthesis
La hauteur d'un prisme est la distance entre ses deux bases. Autrement dit, si la perpendiculaire commune aux bases coupe le plan de l'une des bases en H et le plan de l'autre base en K, la hauteur du prisme est la longueur H, K.

Pavé droit

Un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles.
Remarque : chacune des faces d'un pavé droit peut être considéré comme sa base !
Un cube avec une longueur L, une largeur l, et une hauteur h.
Volumepaveˊ droit=(Airerectangle)×(hauteur)=(largeur du rectangle×longueur du rectangle)×(hauteur)=l×L×h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{pavé droit}}&=(\blueE{\text{Aire}_{\text{rectangle}}})\times(\maroonD{\text{hauteur}})\\\\ &=\left(\blueE{\text{largeur du rectangle}×\text{longueur du rectangle}}\right)\times(\maroonD{\text{hauteur}})\\\\ &=\blueE{l×L}×\maroonD{h} \end{aligned}

Prisme droit à base triangulaire

Ses bases sont des triangles.
Un prisme triangulaire avec une base triangulaire de base b, de hauteur h, et de longueur L.
Volumeprisme aˋ base triangulaire=(Airetriangle)×(hauteur du prisme)=(12×coˆteˊ du triangle×hauteur relative aˋ ce coˆteˊ)×(hauteur du prisme)=12bhℓ\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{prisme à base triangulaire}}&=(\blueE{\text{Aire}_{\text{triangle}}})\times(\maroonD{\text{hauteur du prisme}})\\\\ &=\left(\blueE{\dfrac{1}{2}×\text{côté du triangle}×\text{hauteur relative à ce côté}}\right)\times(\maroonD{\text{hauteur du prisme}})\\\\ &=\blueE{\dfrac{1}{2}bh}\maroonD{\ell} \end{aligned}

Cylindre de révolution

On peut dire que le cylindre de révolution est de la famille des prismes. Ses bases sont des disques.
Un cylindre de rayon de r et de hauteur h.
Volumecylindre de reˊvolution=Airedisque×hauteur=(π×rayon2)×hauteur=πr2h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{cylindre de révolution}}&=\blueE{\text{Aire}_{\text{disque}}}\times\maroonD{\text{hauteur}}\\\\ &=(\blueE{\pi \times\text{rayon}^2})\times\maroonD{\text{hauteur}}\\\\ &=\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Prisme oblique

Les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.
La formule du volume du prisme oblique est la même que celle du volume du prisme droit.
Cocher le calcul du volume de ce prisme oblique.
Un prisme oblique avec sa base rectangulaire de longueur de deux unités et de largeur d'un virgule cinq unités. La hauteur inclinée du prisme est de cinq unités. Sa hauteur verticale est de quatre unités.
Choisissez une seule réponse :

La famille des pyramides

start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, p, y, r, a, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start color #7854ab, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #7854ab, ×, start color #0c7f99, start text, a, i, r, e, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, end color #0c7f99, times, start color #ca337c, start text, h, a, u, t, e, u, r, end text, end color #ca337c
Cette formule s'applique à tous les types de pyramide.

Pyramide à base rectangulaire

Sa base est un rectangle.
Une pyramide rectangulaire avec la longueur L unités et la largeur l unités. Elle a une hauteur verticale de h unités.
Volumepyramide aˋ base rectangulaire=13Airerectangle×hauteur=13×(largeur du rectangle×longueur du rectangle)×hauteur de la pyramide=13×l×L×h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{pyramide à base rectangulaire}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\text{Aire}_{\text{rectangle}}}\times\maroonD{\text{hauteur}}\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}×\left(\blueE{\text{largeur du rectangle}×\text{longueur du rectangle}}\right)\times \maroonD{\text{hauteur de la pyramide}}\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}×\blueE{l×L}×\maroonD{h} \end{aligned}

Cône de révolution

On peut dire que le cône de révolution est de la famille des pyramides. Sa base est un disque.
Un cône avec un rayon r et une hauteur h.
Volumecoˆne de reˊvolution=13(Airedisque)×hauteur=13(π×rayon2)×hauteur=13πr2h\begin{aligned} \text{Volume}_{\text{cône de révolution}}&=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\text{Aire}_{\text{disque}}})\times \maroonD{\text{hauteur}}\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}(\blueE{\pi \times\text{rayon}^2})\times \maroonD{\text{hauteur}}\\\\ &=\purpleD{\dfrac{1}{3}}\blueE{\pi r^2}\maroonD{h} \end{aligned}

Sphère

Une sphère de rayon r.
start text, V, o, l, u, m, e, end text, start subscript, start text, s, p, h, e, with, \`, on top, r, e, end text, end subscript, equals, start color #a75a05, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, end color #a75a05, pi, ×, start color #0c7f99, start text, r, a, y, o, n, end text, end color #0c7f99, cubed

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