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Cours : Secondes professionnelles > Chapitre 7

Leçon 3: Résolution d'un système par addition ou combinaison

Résoudre un système d'équations par élimination

La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.

L'objet de cette leçon est la résolution d'un système par addition.

Notion clé : Si deux égalités sont vraies, l'égalité obtenue en les additionnant membre à membre est vraie. De même l'égalité obtenue en les soustrayant membre à membre est vraie.

Ces deux égalités sont vraies :

$2 = 2$ ‍
$5 = 5$ ‍

L'égalité obtenue en les additionnant membre à membre est vraie aussi :

$\begin{aligned} 2 & = 2 \\ + 5 & = 5 \\ 7 & = 7 \end{aligned}$ ‍

ainsi que l'égalité obtenue en les soustrayant membre à membre :

$\begin{aligned} 2 & = 2 \\ - 5 & = 5 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}$ ‍

Il est vrai aussi que si deux équations ont la même solution, alors l'équation obtenue en les additionnant membre à membre a aussi la même solution.

$\begin{aligned} 2 x + 3 & = 7 \\ + 4 x + 1 & = 9 \\ 6 x + 4 & = 16 \end{aligned}$ ‍

C'est sur cette propriété des égalités que repose la résolution s'un système par addition.

Résoudre un système d'équation par addition

Soit à résoudre le système :

$x + 3 y = 8 équation 1$ ‍

$4 x - 3 y = 17 équation 2$ ‍

La difficulté est qu'il y a deux inconnues.

Si on additionne les deux équations membre à membre, on obtient une équation où la seule inconnue est

x

. Le principe est que l'on obtient un système équivalent en remplaçant l'une des deux équations du système par cette équation d'inconnue

x

$\begin{aligned} x + 3 y & = 8 \\ + 4 x - 3 y & = 17 \\ 5 x + 0 & = 25 \end{aligned}$ ‍

On la résout :

$\begin{aligned} 5 x + 0 & = 25 \\ 5 x & = 25 \\ x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Le système donné équivaut au système dont les équations sont

x = 5

x + 3 y = 8

. On en déduit que :

$\begin{aligned} x + 3 y & = 8 \\ 5 + 3 y & = 8 \\ 3 y & = 3 \\ y & = 1 \end{aligned}$ ‍

Le couple solution du système est

(5, 1)

Résoudre ce système.

$4 y - 2 x = 4$ ‍

$5 y + 2 x = 23$ ‍

x =

y =

Le cas où il faut d'abord remplacer l'une des équations par une équation équivalente pour pouvoir appliquer cette méthode

Il n'est pas toujours vrai qu'il suffit d'additionner ou de soustraire les deux équations données pour obtenir une équation comportant une seule inconnue.

Soit le système :

$6 x + 5 y = 28 équation 1$ ‍

$3 x - 4 y = 1 équation 2$ ‍

Ici, il ne servirait à rien d'additionne les deux équations membre à membre. Voici la marche à suivre dans un tel cas :

On obtient une équation équivalente à la deuxième équation en multipliant ses deux membres par $- 2$ ‍ :

$\begin{aligned} - 2 (3 x - 4 y) & = - 2 \times 1 \\ - 6 x + 8 y & = - 2 \end{aligned}$ ‍

On additionne membre à membre la première équation et cette nouvelle équation :

$\begin{aligned} 6 x + 5 y & = 28 \\ + - 6 x + 8 y & = - 2 \\ 13 y & = 26 \end{aligned}$ ‍

On résout cette équation :

$\begin{aligned} 13 y & = 26 \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

On en déduit la valeur de $x$ ‍ :

$\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 1 \\ 3 x - 4 \times 2 & = 1 \\ 3 x - 8 & = 1 \\ 3 x & = 9 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Le couple solution est

(3, 2)

Résoudre ce système.

$8 x + 14 y = 12$ ‍

$- 6 x - 7 y = - 16$ ‍

x =

y =

Le cas où il faut d'abord remplacer les deux équations par des équations équivalentes pour pouvoir appliquer cette méthode

Parfois il faut multiplier par une constante les deux membres de chacune des équations du système .

Soit le système :

$5 x + 3 y = 14 équation 1$ ‍

$3 x + 2 y = 8 équation 2$ ‍

Voici la méthode :

On multiplie les deux membres de la première équation par une constante bien choisie, et les deux membres de la deuxième équation par une autre constante bien choisie. Puis on applique la méthode.

$5 x + 3 y = 14 \Rightarrow Multiplication par 2 \Rightarrow 10 x + 6 y = 28$ ‍

$3 x + 2 y = 8 \Rightarrow Multiplication par 3 \Rightarrow 9 x + 6 y = 24$ ‍

On soustrait les deux équations membre à membre :

$\begin{aligned} 10 x + 6 y & = 28 \\ 9 x + 6 y & = 24 \\ x + 0 & = 4 & On a soustrait les deux équations membre à membre \end{aligned}$ ‍

On en déduit la valeur de $y$ ‍ :

$\begin{aligned} 3 x + 2 y & = 8 & Équation 2 \\ 3 \times 4 + 2 y & = 8 \\ 12 + 2 y & = 8 \\ 2 y & = - 4 \\ y & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Le couple solution est

(4, - 2)

Résoudre ce système.

$5 x + 4 y = - 14$ ‍

$3 x + 6 y = 6$ ‍

x =

y =

À vous !

1) Résoudre ce système par la méthode d'addition.

$3 y + x = 7$ ‍

$2 y - x = - 2$ ‍

x =

y =

2) Résoudre ce système par la méthode d'addition.

- 7 y - 4 x = 1

7 y - 2 x = 53

x =

y =

3) Résoudre ce système par la méthode d'addition.

$- 9 y + 4 x - 20 = 0$ ‍

$- 7 y + 16 x - 80 = 0$ ‍

x =

y =

4) Résoudre ce système par la méthode d'addition.

$3 x - 11 y = - 1$ ‍

$2 x - 5 y = - 3$ ‍

x =

y =

Un dernier exercice

Depuis deux jours les billets de la représentation annuelle du club de théâtre de ce lycée sont en vente. Le premier jour il a été vendu

6

billets à plein tarif et

10

billets à tarif réduit et le montant de ces ventes a été de

140

€. Le deuxième jour il a été vendu

7

billets à plein tarif et

3

billets à tarif réduit et le montant de ces ventes a été de

94

€.

Quel est le prix d'un billet à plein tarif et quel est celui d'un billet à tarif réduit ?

Le prix d'un billet à plein tarif est

€.

Le prix d'un billet à tarif réduit est

€.

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