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Secondes professionnelles

Cours : Secondes professionnelles > Chapitre 7 

Leçon 4: Résolution d'un système par substitution
Mathématiques
Secondes professionnelles
Domaine Algèbre – Analyse : Système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Résolution d'un système par substitution
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La méthode par substitution

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La méthode expliquée à travers de nombreux exemples.
Il s'agit de résoudre le système :
y, equals, 2, x, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 1, end text, end color gray
x, plus, y, equals, 24, space, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 2, end text, end color gray
La difficulté est qu'il y a deux inconnues.
D'après l'équation 1, start color #e07d10, y, end color #e07d10 est égal à start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10. Donc on peut remplacer start color #e07d10, y, end color #e07d10 par start color #e07d10, 2, x, end color #e07d10 dans l'équation 2. Et cette équation sera alors une équation à une seule inconnue.
x+y=24eˊquation 2x+2x=24On a remplaceˊ y par 2x\begin{aligned} x + \goldD y &= 24 &\gray{\text{équation 2}} \\\\ x + \goldD{2x} &= 24 &\gray{\text{On a remplacé y par 2x}}\end{aligned}
On la résout :
x+2x=243x=24 3x3=243x=8
On a obtenu que x est égal à 4. On calcule la valeur de y en remplaçant x par 4 dans la première équation.
y=2xeˊquation 1y=2×8y=16\begin{aligned} y &= 2\blueD x &\gray{\text{équation 1}} \\\\ y &= 2×\blueD8 &\gray{\text{}}\\\\ \greenD y &\greenD= \greenD{16}\end{aligned}
Le couple solution du système est le couple left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis. On vérifie !
Ce couple est-il solution de la première équation ?
y=2x16=?2×816=16Exact !\begin{aligned} y &= 2x \\\\ \greenD{16} &\stackrel?= 2×\blueD{8} &\gray{\text{}}\\\\ 16 &= 16 &\gray{\text{Exact !}}\end{aligned}
Ce couple est-il solution de la deuxième équation ?
x+y=248+16=?2424=24Exact !\begin{aligned} x +y &= 24 \\\\ \blueD{8} + \greenD{16} &\stackrel?= 24 &\gray{\text{}}\\\\ 24 &= 24 &\gray{\text{Exact !}}\end{aligned}
Le couple left parenthesis, start color #11accd, 8, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 16, end color #1fab54, right parenthesis est bien le couple solution du système.
Cette méthode s'appelle la méthode de substitution.
Résoudre ce système par la méthode de substitution.
4, x, plus, y, equals, 28
y, equals, 3, x
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Parfois il faut commencer par exprimer l'une des variables en fonction de l'autre

Soit à résoudre ce système :
minus, 3, x, plus, y, equals, minus, 9, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 1, end text, end color gray
5, x, plus, 4, y, equals, 32, space, space, space, space, space, space, space, start color gray, start text, e, with, \', on top, q, u, a, t, i, o, n, space, 2, end text, end color gray
Avant toute chose, il faut exprimer l'une des variables en fonction de l'autre.
Etape 1 : On exprime l'une des variables en fonction de l'autre.
On déduit de la première équation l'expression de y en fonction de x :
−3x+y=−9eˊquation 1−3x+y+3x=−9+3xy=−9+3x\begin{aligned} -3x + y &= -9 &\gray{\text{équation 1}} \\\\ -3x + y + \maroonD{3x} &= -9 +\maroonD{3x} &\gray{\text{}} \\\\ y &= {-9 +3x} &\gray{\text{}}\end{aligned}
Etape 2 : On remplace y par cette expression dans la deuxième équation et on résout l'équation d'inconnue x obtenue.
5x+4y=32eˊquation 25x+4(−9+3x)=32On a remplaceˊ y par -9 + 3x5x−36+12x=3217x−36=3217x=68x=4\begin{aligned} 5x + 4\goldD y &= 32 &\gray{\text{équation 2}} \\\\ 5x +4(\goldD{-9 + 3x}) &= 32 &\gray{\text{On a remplacé y par -9 + 3x}} \\\\ 5x -36 +12x &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x - 36 &= 32 &\gray{\text{}} \\\\ 17x &= 68 &\gray{\text{}} \\\\ \blueD x &\blueD= \blueD4 &\gray{\text{}}\end{aligned}
On en déduit la valeur de y :
−3x+y=−9eˊquation 1−3×4+y=−9On a remplaceˊ x par 4−12+y=−9y=3\begin{aligned} -3\blueD x + y &= -9 &\gray{\text{équation 1}} \\\\ -3×\blueD{4} +y &= -9 &\gray{\text{On a remplacé x par 4}} \\\\ -12 + y &= -9 &\gray{\text{}} \\\\ \greenD y &\greenD= \greenD3 &\gray{\text{}} \end{aligned}
Le couple solution est le couple left parenthesis, start color #11accd, 4, end color #11accd, space, ;, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.

À vous !

1) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
2, x, minus, 3, y, equals, minus, 5
y, equals, x, minus, 1
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
minus, 7, x, minus, 2, y, equals, minus, 13
x, minus, 2, y, equals, 11
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Résoudre ce système par la méthode de substitution.
minus, 3, x, minus, 4, y, equals, 2
minus, 5, equals, 5, x, plus, 5, y
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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