Interpréter un intervalle de confiance de la proportion de la population

Lorsqu'on détermine un intervalle de confiance de la proportion de la population, il est important de savoir l'interpréter : ce qu'il nous permet de conclure ou non. On étudie trois exemples.

Une association de consommateurs souhaite connaître la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation d'un nouveau produit de nettoyage. Elle effectue un sondage par échantillonnage aléatoire simple de $100$‍ personnes parmi celles utilisant ce produit. Elle obtient un intervalle de confiance au seuil de $95\mathrm{\%}$‍ de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs égal à $[\mathrm{0,599};\mathrm{0,781}]$‍. On suppose que les conditions pour approximer la loi de la variable aléatoire proportion d’échantillonnage par une loi normale sont vérifiées.

Non. On conclut qu’à partir de cet échantillon de $100$‍ utilisateurs de ce produit, la proportion des utilisateurs satisfaits est compris entre entre $59,9\mathrm{\%}$‍ et $78,1\mathrm{\%}$‍ au seuil de confiance de $95\mathrm{\%}$‍. Comme $57\mathrm{\%}$‍ n'appartient pas à cet intervalle, on ne peut pas affirmer qu'il est possible que $57\mathrm{\%}$‍ des personnes utilisant ce produit en soient satisfaites.

Dans un lycée, on cherche à estimer la proportion d'élèves droitiers. Pour cela, on choisit au hasard $100$‍ élèves et on obtient comme intervalle de confiance de la proportion d'élèves droitiers dans ce lycée au seuil de confiance de $95\mathrm{\%}$‍ $[\mathrm{0,557};\mathrm{0,743}]$‍. On suppose que les conditions pour approximer la loi de la variable aléatoire proportion d’échantillonnage par une loi normale sont vérifiées.

Oui. On sait qu' à partir de cet échantillon de $100$‍ élèves, la proportion d'élèves droitiers de ce lycée est comprise entre $\mathrm{0,557}$‍ et $\mathrm{0,743}$‍ au seuil de confiance de $95\mathrm{\%}$‍ . Comme $0,57$‍ appartient à cet intervalle, on peut affirmer qu'il est possible que $57\mathrm{\%}$‍ des élèves de ce lycée sont droitiers.

Non. Un intervalle de confiance pour une proportion $p$‍ à un seuil de confiance $0,95$‍ est la réalisation, à partir d’un échantillon, d’un intervalle aléatoire contenant la proportion $p$‍ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$‍. Une estimation ponctuelle de $p$‍ affecte une valeur numérique : la proportion de l'échantillon. On conclut d'une estimation par intervalle de confiance qu'à partir d'un échantillon donné, $p$‍ est dans l’intervalle au seuil de confiance $0,95$‍. Ici, l'intervalle de confiance obtenu est $[\mathrm{0,557};\mathrm{0,743}]$‍. Toutes les valeurs non comprises dans cet intervalle sont peu probables d'après cet échantillon. On ne peut pas affirmer que la proportion d'élèves droitiers de ce lycée est égale à $57\mathrm{\%}$‍.

Dans un jeu vidéo, on reçoit un bonus de pièces d'or si on bat un adversaire. Les développeurs du jeu souhaitent que les joueurs aient une certaine chance de gagner un bonus s'ils battent un adversaire de haut niveau. Ils programment le jeu de sorte que le bonus soit attribué aléatoirement dans une proportion de $30$‍ parties sur $100$‍ où cet adversaire est battu.

Pour vérifier si le bonus est attribué comme programmé, les développeurs du jeu ont vaincu cet adversaire dans $100$‍ parties (le résultat de chaque partie est indépendant du résultat des autres parties). Après chaque partie, ils ont noté le nombre de fois où ils ont obtenu le bonus. Ils ont ensuite construit un intervalle de confiance au seuil de $95\mathrm{\%}$‍ de la proportion $p$‍ de parties avec l'obtention du bonus. Cet intervalle est $[\mathrm{0,323};\mathrm{0,517}]$‍.

Les développeurs du jeu souhaitent aussi que les joueurs aient une certaine chance de gagner un objet rare s'ils battent un adversaire de haut niveau. Ils programment le jeu de sorte que l'objet rare soit attribué aléatoirement dans une proportion de $15$‍ parties sur $100$‍ où cet adversaire est battu.

Pour vérifier si l'objet rare est attribué comme programmé, les développeurs du jeu ont vaincu cet adversaire dans $100$‍ parties (le résultat de chaque partie est indépendant du résultat des autres parties). Après chaque partie, ils ont noté le nombre de fois où ils ont obtenu l'objet rare. Ils ont ensuite construit un intervalle de confiance au seuil de $95\mathrm{\%}$‍ de la proportion $p$‍ de parties avec l'obtention de l'objet rare. Cet intervalle est $[0,12;0,06]$‍.