La formule

bonjour alors dans cette vidéo on va parler des combinaisons tu vas voir que c'est du dénombrement et comme souvent dans dénombrement on s'est un petit peu déroutant au départ on est un peu déboussolés parfois ça arrive enfin moi c'est ce qui m'est arrivé en tout cas au départ et donc c'est important de multiplier les exemples et tu verras que l'on fera plusieurs vidéos là dessus sur la khan academy pour l'instant je vais prendre une situation assez classique on va considérer qu'on a six personnes six personnes qu'on va appeler qu'ils ont abaissé d a b c d e et f donc si nos six personnes et on a aussi quatre chaises quatre chaises alors je vais les dessiner comme ça et à la chaîne numéro 1 la chaîne numéro 2 la chaîne numéro 3 la chaîne numéro 4 et voilà et donc la question qu'on peut se poser c'est comment est-ce qu'on peut arranger ces six personnes sur ses quatre chaises alors il ya une première question qu'on peut se poser et qu'on s'est déjà posée dans les vidéos précédentes c'est de combien de manière différente on peut arranger ces six personnes sur ses quatre chaises alors ça on ne sait que en fait ça s'appelle un arrangement de quatre personnes parmi 6 on va le refaire ici sur la première chaise budget si façon si possibilité je peux choisir une de ces six personnes et ensuite pour chacune de ces possibilités là je dois choisir une personne sur la deuxième chaîne est ici sur la deuxième chaîne est bien au fait je peux m les six personnes sauf la première donc je peux mettre en tout cinq personnes donc pour l'instant ici c'est une multiplication puisqu'à chaque choix que j'ai fait ici de la première personne assise sur la première chaise et bien je dois multiplié sa part 5 donc ensuite je vais multiplier sa encore une fois par le nombre de manière de choisir la personne qui sera assise ici sur la troisième chaîne alors ici je peux mettre en fait n'importe laquelle des six personnes sauf les deux que j'ai déjà choisi donc en fait il me reste quatre personnes parmi lesquelles choisir et ensuite je continue je vais maintenant choisir personne pour la 4è chaises et ça j'ai en fait trois possibilités de le faire puisque j'ai déjà choisi trois personnes sur les 6 alors ce nombre là on peut le calculer 6 x 5 ça fait 30 x 4 ça fait 120 et foix iii encore ça fait 360 alors donc il y à 360 arrangements 2 4 de quatre personnes parmi 6 je te rappelle qu' on avait une vue une manière d'exprimer ce nombre d'arrangements de quatre personnes parmi six avec l'annotation factorielle en fait ce qu'on peut remarquer c'est que ici on 1 6 x 5 x 4 x 3 6 x 5 x 4 x 3 ça c'est presque en fait c'est le début de six factorielle 6 factorielle puisque effectivement cistac tauriel ses 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 donc il faut qu'on arrive à diviser par deux fois 1 alors deux fois 1 c2 factorielle donc il faudrait arriver ici a dit viser 6 factorielle par deux factorielle mais dans notre situation de ces le complémentaire de 4 à 6 donc ce que je vais faire ici c'est en fait divisé par 6 - 4 factorielle voilà et donc si je regarde ce qui se passe 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 quand je divise par 6 - 4 factorielle en fait je divise par 2 factorielle et 2 factorielle ces deux fois 1 et donc ici tu vois que on peut faire des simplifications bond lié à ses seins qui toute façon ne change pas grand chose et puis il ya ces deux qu'on peut simplifier au numérateur et le dénominateur et on retrouve exactement le résultat de tout à l'heure donc ça c'est égal à 360 et ça ça marche dans quatre tout à fait général quand tu veut calculer le nombre d'arrangements de cas éléments parmi elles on note comme ça de cette manière là et bien là formule que tu ne peux employer ces haines factorielle sur aisne - k factorielle voilà donc ça c'est la formule des arrangements mais ce qu'il faut bien comprendre c'est que quand on fait ses arrangements là en fait on considère comme différent le cas où on a rangé par exemple la personne assure la première chaise la personne b sur la deuxième la personne c'est sur la troisième et la personne d sur la quatrième ça c'est un arrangement possible et si on regarde un deuxième arrangements qui est celui là par exemple bea des sais tu vois que ce sont les mêmes quatre personnes qui sont assises mais dans une disposition différente donc ici c'est bien un premier arrangements ça c'est bien un deuxième arrangements qui est différent du premier et on pourrait continuer comme ça pour écrire les 360 arrangements qui existe donc tu vois ici on répond à la question en fait de combien de manière différente je peut asseoir ces personnes-là sur mes quatre chaises mais une question tout à fait différente et dans un cas peut-être un peu plus pragmatique la question qu'on pourrait se poser c'est de combien de manière différente je peux faire asseoir quatre personnes parmi mes six personnes et dans ce cas là c'est bien différent puisque ces deux configurations là par exemple serait considéré identique c'est à dire qu'ici on a bien assis les personnes a b c et d dans les deux cas donc ça serait exactement la même chose et ça ça amène à ce qu'on appelle des combinaisons donc je reprends si notre problème c'est d'asseoir quatre personnes parmi 600 considérer l'ordre dans lequel ces personnes là sont assises eh bien il faut qu'on arrive à calculer le nombre de combinaisons le nombre de on appelle ça comme ça de combinaisons de quatre éléments parmi 6 ça c'est le problème du coup et on va l'aborder plutôt dans le cadre général dans le cadre général d'une combinaison de cas éléments parmi 6 on note comme ça n car note aussi comme ça n choix k les certaines calculatrice et la notation qui employait par exemple met donc en fait on va prendre le nombre d'arrangements existants donc celui ci a n casser le nombre d'arrangements de cas éléments parmi haine et au fait ce qu'il faut faire c'est diviser sa part le nombre de configurations qu'on va considérer comme étant identiques alors pour comprendre par quoi on doit diviser ici on peut se pencher sur ce cas là c'est quand même assez pratique imagine qu'on a choisi déjà ces quatre personnes là qui vont être assise en fait toutes les autres configurations identiques c'est celle où les quatre personnes soit 6 dans une disposition différente donc en fait le nombre de configurations identiques et bien c'est le nombre de permutations de ces quatre éléments là et dans le cas général est bien ici on va diviser par le nombre de permutations de cas éléments parmi gars et ça c'est qu'à factorielle alors si tu pas convaincu par sa on peut voir ça rapidement imagine que tu doit asseoir cas personne sur cash est ce donc là il ya la première chaise la deuxième chaise la troisième chaises et ainsi de suite jusqu'à la quatrième celle là kayem chaise pardon voilà ça c'est mes chaises placé quatre personnes sur ses cachets cela alors sur la première chaise du haka possibilité puisque à personne sur la deuxième il ya qu'à moins une possibilité puisque tu as déjà choisi une personne pour la première chaise sur la troisième chaîne il ya déjà deux personnes qui sont assises donc il ya encore qu'à moins deux possibilités ici et ainsi de suite jusqu'à la dernière chaise où il reste plus qu'une seule personne à choisir qui est pas encore à 6 voilà et donc les arrangements ici donc ça c'est les arrangements 2 k éléments par mika et c'est donc qu'à fois cas moins 1 fois cas moins deux fois ainsi de suite jusqu'à foix autrement dit c'est exactement ce que j'ai dit ici c'est qu'à tauriel je vais utiliser un jeu de couleurs que j'ai pas tellement suivi ici en fait le cas il est là c'est le nombre d'arrangements de cas éléments parmi elles on retrouve le cas ici et puis ici c'est qu'à factorielle pour le nombre d'arrangements de cas éléments parmi 40 donc c'est le nombre de permutations de cas éléments donc là on est presque arrivé au bout de nos peines puisque on peut remplacer l'expression de ak n par notre formule de tout à l'heure et on trouve cette formule si pour le nombre de combinaisons de cas éléments parmi elles on trouve que c'est égal à haisnes factorielle sûr qu'à factorielle facteur 2 alors je l'écris comme ça ed moins qu'à factorielle voilà donc ça c'est la formule qui donne le nombre de combinaisons de cas éléments parmi elles on appelle ça aussi souvent des coefficients binôme you parce que ça intervient dans la formule du binôme de newton et dans notre cas ici on peut le calculer donc je repose la question que je posais tout à l'heure de combien de manière différente on peut asseoir six personnes sur ses quatre chaises ça reviendrait à calculer ce nombre là dans notre cas c'est le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 6 voilà donc si on applique cette formule est bien ces six factorielle / 4 factorielle x 6 mois 4 - 4 factorielle j'essaie de respecter les couleurs pour que tu te retrouves mieux alors ça nous donne au numérateur 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 au dénominateur g4 factorielle pied 4 x 3 x 2 x 1 et puis 6 - 4 factorielle ça ça fait 2 factorielle donc ça fait x 2 x 1 alors il ya des choses qu'on peut simplifier évidemment on peut déjà simplifiée ce2 ce2 fois un ici avec celui ci et puis bon il ya ce 1 qui changent rien donc je peux le supprimer ensuite j'ai 4 x 3 4 x 3 ici au numérateur et 4 x 3 au dénominateur donc ça je peux le simplifier aussi et ce qu'il nous reste finalement c'est 6 x 5 sur deux ensuite la géci ce que je peut diviser par deux ça va me donner 3 voilà est donc finalement ce que j'obtiens ses 15 tu vois que c'est assez différent enfin c'est très différent des arrangements vous m'avez 360 manière différente d'asseoir nos six personnes sur ses quatre chaises en tenant compte de l'ordre dans lequel elles sont assises alors qu'il ne reste plus que 15 possibilités qu'on ait réussi à asseoir quatre personnes sur nos quatre chaises parmi les six personnes dans n'importe quel ordre alors on va s'arrêter là pour cette vidéo qui est déjà un petit peu longue mais quand même j'insiste sur une chose c'est que tu sais très bien que moi je ne suis pas tellement pour le fait d'apprendre par coeur des formules je préfère essayer de retrouver un peu d'où elles viennent et ici pour terminer je voudrais insister sur la provenance de cette formule 1 donc ici rappelle toi cette partie là ça c'est le nombre d'arrangements de quatre personnes parmi 6 donc c'est ce qu'on a appelé à 6 4 et cette partie là c'est le nombre de configurations qu'on va considérer identique donc en fait c'est le nombre de permutations de quatre éléments parmi 4