L'ajustement linéaire consiste à tracer une droite qui passe au plus près des observations d'un nuage de points. Cette droite est ensuite utilisée pour faire des prévisions.

Qu'est-ce la régression linéaire  ?

Lorsque le nuage de points associé à une série statistique double a une forme "allongée " c'est-à-dire lorsque les points sont sensiblement alignés, on peut tracer des droites passant « au plus près de ces points ». On dit alors que chacune de ces droites réalise un ajustement affine du nuage de points.

Droite d'ajustement : méthode des moindres carrés

De nombreuses droites ajustent le nuage de points. L'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite d'ajustement passant par le point " moyen ".
exercice
Quelle droite ajuste au mieux le nuage de points suivant ?
Réponse :
Réponse :

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Utilisation de la droite des moindres carrés pour estimer ou prévoir

Lorsqu'on a déterminé une équation de la droite des moindres carrés, il est possible de prévoir ou d'estimer une situation non associée à un point du nuage.

Exemple : Établir l'équation de la droite d'ajustement

Ci-dessous, le nuage de points et la droite d'ajustement associés à la série-double dont les variables sont le pourcentage d'Américains qui fument et le nombre d'années écoulées depuis 19671967. Ce nuage de points ne présente pas de valeurs aberrantes et suggère une relation linéaire négative entre les deux variables.
Déterminer une équation de la droite d'ajustement.
1 - On calcule le coefficient directeur de la droite d'ajustement.
Cette droite passe par les points dont les coordonnées sont (0 ; 40)(0 ~; ~40) et (10 ; 35)(10~; ~35). Son coefficient directeur est donc 3540100=12\dfrac{35-40}{10-0} = -\dfrac12.
2 - On détermine l'ordonnée à l'origine.
Par lecture graphique, on en déduit que l'ordonnée à l'origine est 4040.
3 - On établit l'équation y=mx+by=mx+b.
L'équation est y=0,5x+40y=-0{,}5x+40
En déduire une estimation du pourcentage de fumeurs en 19971997.
Pour estimer le pourcentage de fumeurs en 19971997, on remplace xx par 3030 (19971997 est la trentième année à partir de 19671967 ) dans l'équation obtenue :
y=0,5x+40y=(0,5)×(30)+40y=15+40y=25\begin{aligned}y&=-0{,}5x+40\\\\ y&=\left(-0{,}5\right)×(30)+40\\\\ y&=-15+40\\\\ y&=25\end{aligned}
D'après cette approximation, environ 25%25\% des adultes fumaient en 19971997.
exercice
Jacob a demandé à ses camarades de classe combien d'heures ils avaient passé la veille à faire du sport (variable xx). Il leur a aussi demandé d'attribuer une note entre 00 et 1010 à leur humeur du jour où 1010 correspond à une excellente humeur (variable yy). On donne le nuage de points associé à la série double des données récoltées et la droite de régression de yy en xx.
Déterminer l'équation de la droite d'ajustement.
Réponse :
Réponse :
Déduire de la droite d'ajustement une estimation de la note de l'humeur du jour d'un élève qui a passé 2,52{,}5 heures à faire du sport la veille.
Arrondir la réponse au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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