Démonstration (4e partie) de la méthode des moindres carrés

alors si tu arrivé jusque là si tu as suivi toutes les vidéos précédentes pour d'essayer de déterminer la l'équation de la droite des moindres carrés des efforts vont être récompensés ici parce que là on va terminer et on va trouver cette équation alors on reprend là où on en est et on avait déterminé un système d'équations que devait vérifier cette droite des moindres carrés de code dont la pente cm et leur donner à l'origine cb on avait donc trouvé qu'elle devait vérifier ce système d'équations on avait aussi trouvé deux points qui appartenait à cette droite donc à partir de là on avait déjà dit qu'il ya deux façons de faire soit on prend ces deux points on calcule la pente donc le coefficient directeur de la droite qu'est ce qui va nous donner la valeur de m et ensuite on en déduit d'ordonner à l'origine et puis une autre façon de faire c'est de travailler sur ce système c'est ce qu'on va faire ici toute façon les deux manières sont complètement équivalente un donc je vais partir de ce système là et d'ailleurs je vais partir plus tôt en fait de ce je vais leur écrire parce que je vais partir de cette équation est de celles-ci sur laquelle on avait déjà un peu travailler parce que de rares qu'en fait là on peut on peut soustraire celle-ci de celle-ci donc je vais je vais le faire je verrai écrire ça proprement donc j'ai d'abord cette équation la m x x carré bar / x bar plus b qui est égal à x y bar / x barre voilà et puis la deuxième équation cm x bar ou + b qui est égal à y barre voilà alors maintenant je vais écrire ce système mais en remplaçant la première équation par la première - la deuxième donc ça le fait le faire alors quand je fais cette équation 6 - celle-là je vais avoir ici la danse est si j'additionne les termes en m je vais avoir m alors je vais le faire envers ce sera plus cohérent avec les couleurs que j'ai utilisé même resté n facteur 2 x au carré bar sur x bar x au carré bar sur x bach - x bar - x par voilà et puis plus b - b donc ça seul et b vont s'en aller et ça va être égal à x y bach x/y bar / 6 bars - y bar - y barre voilà alors là je vais réécrire la deuxième équation déjà il faut toujours faire comme ça c'est un peu fastidieux mais bon c'est quand même plus clair donc je réécris cette équation là et puis maintenant je vais continuer les transformations que j'ai commencé sur cette équation là en fait je vais isolé n dans la première équation alors du coup pour faire ça il faut que je divise par toute cette quantité là donc je vais avoir m égal alors cette quantité la / celle ci donc c'est x y bach xy bar / x bar - y bar le tout divisé par x car et bar sur x par - x barre voilà alors ça je vais pouvoir le simplifier un jeu en eau au numérateur j'ai dû x ex bar et puis en bas je vais x x barre aussi donc ça changera rien en fait mais ça va simplifier un petit peu l'exploit l'expression qui est là donc si je multiplie ce terme là par ex mari me reste x/y bar - y bar x x barre donc moins y bar x x bar attention là c'est ça c'est la moyenne des produits de x et y de y alors que là c'est la moyenne des grecs fois la moyenne des x c'est pas la même chose / alors ambages doit multiplier aussi par x barre donc je vais avoir la sete ce terme là si je multiplie par ex bar ces experts vont s'en aller il va me rester x carré bar - et ici il faut que j'aie multiplie par ex bar aussi donc je vais avoir ici x bar au carré voilà alors je rappelle ce que j'ai fait ici c'est multiplient et tout le numérateur par x bar et le numéro est le dénominateur aussi par x barre donc j'ai multiplié par la fraction x barre sur x barre et du coup j'ai pu faire toutes ces simplifications là et j'obtiens ça alors voilà ça c'est l'expression de m maintenant bon allez un peu compliqué mais elle est facile à calculer quand même une fois qu'on a nos séries de données x2 y est bien il suffit qu'on calcule la moyenne des grecs la moyenne des x la moyenne des x y et puis la moyenne des carrés des x voilà donc ce calcul est tout à fait faisable à partir de nos données des x et des y alors ensuite pour trouver b ben tout simplement là on va pas se casser la tête d'ailleurs je vais pas tout réécrire on va juste prendre cette équation là et dire que b c'est y bar - n x x par avec évidemment cette pour valeur de m7 valeur convient de trouver voilà donc là on a fini on à déterminer les paramètres de la de l'équation de la droite des moindres carrés donc son coefficient directeur et son ordonné à l'origine alors sans rentrer trop dans le détail je vais donner une autre expression qui sera celle dont il faut se souvenir pour la pente de cette droite des moindres carrés pour ça il faut qu'on revienne à des indicateurs qu'on avait calculé on avait calculé par exemple pour une série de données x on avait calculé la variance alors ici je vais là noté comme ça la variance dx occasion la note comme ça variance dx et bien on avait dit on avait trouvé une expression on avait dit qu'on pouvait l'écrire comme ça comme la somme de pourris qui va de 1 jusqu'à ndx y au carré / n - la moyenne des x au carré est en fait ce terme qui est ici passent et rien d'autre que la moyenne des x o car est un donc je peux finalement écrire la variance comme comme ça comme on l'a avec l'annotation qu'on a utilisées ici c'est la moyenne des xo carré - la moyenne des x élevée au carré voilà ça c'est déjà une chose et puis dans le cadre d'une série de variables ont kiss in double série de données avec des données x était donnée y c'est le cas qu'on combat ici eh bien on a un autre indicateur qui est important c'est ce qu'on appelle la covariance la covariance alors la covariance dans la note comme ça covariance 2 x y et 7 covariance on la définit comme ça c'est le la somme alors j'utilise ce ce symbole là la somme pourri qui va de 1 jusqu'à n 2 x y - x bar x y y - y barre donc c'est les produits des écarts par rapport à la moyenne dont on fait la moyenne la moyenne des produits alors là c'est pas un grand peine c1 c'est un petit n voilà donc c'est le la moyenne des produits des écarts par rapport aux moyennes respectives et en fait on peut démontrer on va pas le faire ici parce que ça va de nouveau être quelque chose d'assez technique et ça suffit pour aujourd'hui mais on peut démontrer que cette covariance on peut l'écrire de cette manière là c'est la moyenne des produits xy - la moyenne des xx x la moyenne d y donc c'est exactement le prod le terme qu'on a ici au numérateur donc finalement je vais pouvoir réécrire l'expression de m de cette manière là enfin en utilisant cesser ces indicateurs là donc on va pouvoir écrire que la pente de la droite des moindres carrés eh bien c'est la covariance 2 x y / la variance de x voilà ce qui est une formule un peu plus facile dont on se souvient un peu plus facilement et puis bon b b c'est pas très compliqué je vais leur écrire ici c'est y bar - zem x x par voilà donc c'est de cette formule là qu'il faut se souvenir c'est ça qui va falloir appliquer savoir appliquer alors c'est pour ça que l'application de cette formule là c'est une chose pour trouver la pente mais par la formule qu'on a explicité ici on voit que l'on voit tout de suite quelque el akel quels moyens il faut calculer un donc cette expression là est assez utile dans la pratique voilà ben c'est ça a été un travail assez long et difficile technique donc c'est très bien si tu es arrivé jusqu'au bout et puis alors dans les prochaines vidéos on va on va appliquer sa des cas pratiques on va se donner des séries de données double avec deux variables et puis on va en déterminer la droite des moindres carrés