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Statistique et probabilités - Niveau 1

Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 4

Leçon 3: Effets d’une transformation affine des données sur les paramètres de position et de dispersion

Transformation des données : exercices résolus

Pour comparer des séries statistiques, il est parfois nécessaire de changer d’unité, par exemple on transforme des mètres en centimètres en multipliant toutes les données par 100. On peut aussi être conduit à changer toutes les valeurs d’une série, par exemple un professeur peut décider, pour un devoir, d’ajouter un point à toutes les copies. On étudie ici comment changent la moyenne, l'écart-type, la médiane, les quartiles et l’écart interquartile quand les données sont transformées ainsi.

Partie 1 : On applique à la série la transformation affine x+b

Cinq élèves ont rempli un QCM comprenant 10 questions. Le diagramme à points suivant représente les notes obtenues. On donne aussi les paramètres résumant cette série de notes.

	x, with, \bar, on top	s, start subscript, x, end subscript	start text, m, e, with, \', on top, d, i, a, n, e, end text	start text, e, with, \', on top, c, a, r, t, space, i, n, t, e, r, q, u, a, r, t, i, l, e, end text	étendue
Notes	8	1, comma, 41	8	3	4

Le professeur décide de leur ajouter un point à chacun. Le diagramme à points de la nouvelle série des notes est :

Exercice A (partie 1)

Déterminer les cinq paramètres statistiques résumant la série des nouvelles notes.
Indice: Vous n'êtes pas obligés de les calculer en utilisant leur formule.Vous pouvez les déterminer à partir des diagrammes à points.

	x, with, \bar, on top	s, start subscript, x, end subscript	start text, m, e, with, \', on top, d, i, a, n, e, end text	start text, e, with, \', on top, c, a, r, t, space, i, n, t, e, r, q, u, a, r, t, i, l, e, end text	étendue
Notes initiales	8	1, comma, 41	8	3	4
Nouvelles notes	Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

exercice b (partie 1)

Quel est l'effet sur les mesures de tendance centrale et sur les mesures de dispersion si on ajoute une constante b à toutes les donnés ?

(Choix A)
Les mesures de tendance centrale et de dispersion augmentent alors de 1.
(Choix B)
Les mesures de tendance centrale augmentent de 1 mais les mesures de dispersion ne sont pas modifiées.
(Choix C)
Les mesures de dispersion augmentent de 1 mais les mesures de tendance centrale ne sont pas modifiées.

Partie 2 : On applique à la série la transformation affine ax

Le professeur note toujours les QCM sur 100. Ayant donné un QCM noté sur 10, pour harmoniser les notes, il a multiplié chaque note obtenue par les élèves à ce QCM par 10 pour obtenir les notes finales représentées dans le diagramme à points suivant.

	x, with, \bar, on top	s, start subscript, x, end subscript	start text, m, e, with, \', on top, d, i, a, n, e, end text	start text, e, with, \', on top, c, a, r, t, space, i, n, t, e, r, q, u, a, r, t, i, l, e, end text	étendue
Notes initiales	8	1, comma, 41	8	3	4
Notes sur 10	9	1, comma, 41	9	3	4
Notes finales sur 100	question mark	question mark	question mark	question mark	question mark

exercice a (partie 2)

Calculer la moyenne et la médiane de la série des notes finales.
Indice : Vous n'êtes pas obligés de les calculer en utilisant leur formule. Demandez-vous si ces paramètres sont modifiés ou non.

moyenne =

médiane =

exercice b (partie 2)

Calculer l'étendue de la série des notes finales.

étendue =

exercice c (partie 2)

Calculer l'écart-type et l'écart interquartile de la série des notes finales.
Conseil : Vous n'êtes pas obligés de les calculer en utilisant leur formule. Aidez-vous du résultat obtenu sur la modification de l'étendue.

start text, E, with, \', on top, c, a, r, t, space, i, n, t, e, r, q, u, a, r, t, i, l, e, end text, equals

s, start subscript, x, end subscript, equals

exercice d (partie 2)

Quel est l'effet sur les mesures de tendance centrale et sur les mesures de dispersion si on multiplie constante toutes les donnés par une constante a ?

(Choix A)
Les mesures de tendance centrale et de dispersion sont alors multipliées par 10 (sauf la variance qui est multipliée par 100).
(Choix B)
Les mesures de tendance centrale sont alors multipliées par 10 mais les mesures de dispersion ne sont pas modifiées.
(Choix C)
Les mesures de dispersion sont alors multipliées par 10 (sauf la variance qui est multipliée par 100) mais les mesures de tendance centrale ne sont pas modifiées.

Partie 3 : On applique à la série la transformation affine ax +b

Une station météo située en Grande-Bretagne a enregistré les températures minimales tous les jours du mois de janvier 2015. La moyenne de cette série est 104, degrees, start text, F, end text et son écart-type 9, degrees, start text, F, end text. On veut donner ces résultats en degrés Celsius.

Si x, start subscript, F, end subscript est la mesure d'une température en degrees, start text, F, end text et x, start subscript, C, end subscript la mesure de la même température en degrees, start text, C, end text, on a la relation : x, start subscript, C, end subscript, equals, left parenthesis, x, start subscript, F, end subscript, minus, 32, right parenthesis, times, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction

Exercice A (partie 3)

Quelle est la température moyenne en degrés Celsius ?

moyenne =

degrees, start text, C, end text

Exercice B (partie 3)

Quel est l'écart-type de la série des températures en degrés Celsius ?

écart-type =

degrees, start text, C, end text

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