Loi normale centrée réduite et règle empirique

on va continuer à faire des exercices sur la loi normale alors on considère une série de données distribués selon une loi normale sans très réduite une loi normale sans très réduite rangez les valeurs suivantes dans l'ordre croissant donc on a ici ses valeurs le pourcentage de données inférieur à 1 le pourcentage de données inférieures à -20 la moyenne écart-type le pourcentage de données supérieures à 2 donc évidemment pour les ranger dans l'ordre croissant il va falloir déjà qu'on détermine ce qu'elles valent ces valeurs là ce qu'elles sont exactement alors bon la preuve le principal et des indications c'est celle là on a une loi normale centrée réduite alors loi normale on sait ce que ça veut dire et le fait qu'elle soit centrée réduite ça veut tout simplement dire que sa moyenne est nul donc la moyenne musset 0 et l'écart type il vaut 1 donc sigma est égal à 1 voilà ça c'est ce qu'on appelle une loi normale centrée réduite en fait c'est la loi normale à laquelle on peut sera menée dans tous les cas en faisant un changement de variables et en passant la variable centrée réduite 1 alors il ya un réflexe qui est toujours bon je vais commencer par faire un petit dessin pour me rappeler un peu de ce que c'est qu'une loi normale pour fixer un certain nombre de choses et surtout parce que on va probablement devoir utiliser la règle empirique qu on a déjà présenté dans d'autres vidéos donc pour ça il s'est pas mal de faire un petit un petit dessin alors je vais le faire ici donc je vais commencer par tracer un axe ça c'est là que ce qui va porter les données alors je peux placer là dessus la moyenne qui vaut zéro ici ça s'est muée galles 0 et puis je vais maintenant tracer une courbe en cloche puisque une loi normale ça une forme de courbe en cloche courbe de gauss donc ça sera une courbe qui va être complètement symétrique par rapport à 7 cette droite là que j'ai fait en pointillés par rapport à la moyenne alors donc je vais essayer de faire de mon mieux pour la trace et cette courbe en cloche voilà je monte comme ça voilà c'est pas très joli mais voilà il faut l'imaginer complètement symétrique parfaitement symétrique par rapport à cette droite alors là dessus ce qu'on peut faire c'est placer des valeurs remarquables qui vont nous aider à appliquer là la règle empirique donc déjà on va pas se placer un écart type avant et après la moyenne donc un écart type avant ça va être ici on va dire passer ici donc ça c'est un écart-type cette distance là que j'ai fait ici ça c'est un écart-type donc ça vaut 1 ici on a un après je peux mettre ici un deuxième écart type saas et 2 et ensuite un troisième écart-type donc ici en a trois et puis je peux faire la même chose de l'autre côté donc un écart type avant la moyenne ça va être ici ça c'est la valeur - 1 puisque c'est un écart type avant la moyenne ici j'ai la valeur - 2 et ici j'ai la valeur - 3 donc là j'ai deux écarts type avant la moyenne et l'a3 écart type avant la moyenne alors je vais arranger un petit peu la courbe je vais à ranger un peu cette partie là qui est pas tout à fait bien fait donc alors là je vais reprendre comme ça c'est un petit peu mieux bon ce que je disais c'est que ces valeurs là que j'ai placé sur l'action qui marquent des multiples de l'écart type 1 par rapport à la moyenne eh bien je vais les matérialiser comme ça parce que c'est ce qui va nous aider à appliquer la règle empirique 1 ces valeurs là donc ils ont fait ça découpe l'air sous la courbe en plusieurs tranches et puis je vais rappeler la règle empirique alors la règle empirique je l'a rappelé ici la règle empirique elle va donner des proportions de données qui sont sous la courbe dans certaines parties du plan sous la courbe alors cette règle empirique si tu te rappelles de son autre nom qui est 68,95 99,7 si tu te rappelles de ces trois nombres ça suffira pour se rappeler de la règle empirique parce qu'en fait ce qu'elle nous dit cette règle empirique c'est que quand on s'écarte de -1 d'écart type de la moyenne donc cette partie ici qu'est là est bien le contient 68% des données cette ce nombre là c'est le pourcentage de données qui s'écarte de moins de deux écarts types de la moyenne donc c'est tout ce qui est ici je n'assure pas pour l'instant parce qu'on va en avoir besoin après et puis 99 points 7,7 pourcentage de données qui s'écarte de moins de trois écarts types de la moyenne donc c'est toute cette partie là sous la courbe compris entre -3 et 3 alors on va commencer par le petit à traduire le petit a donc le pourcentage de données inférieure à 1 alors ça je peux assurer sous la sous la courbe pourcentage de données inférieur à 1 ici c'est un donc ce qu'on va nous demander c'est de calculer le pourcentage de données qui sont inférieures c'est à dire en fait l'air de toute cette courbe là de toute cette partie du plan pardon qui est sous la courbe et pour les valeurs inférieures à 1 tout ça donc alors là on va effectivement cédé delà de la loi de la règle empirique puisque cette règle empirique elle nous dit que ce qu'on a ici là entre -1 et un tout ce que je vais assurer un jeu le faire en rouge tout ce que j'achète ici en rouge ça ça représente 68% des données 68% des données donc on peut utiliser aussi ça on l'a déjà fait dans une autre vidéo on peut utiliser le fait que l'eire total qui est compris sous la courbe et bien c'est 100% des données ce qui veut dire que si on ajoute cette partie la plus la partie rouge plus cette partie là que je veux agir en bleu aussi est bien c'est qu'on doit avoir 100% donc cette partie la plus cette partie là la somme de ces deux partis là ça va être 100% -68% c'est-à-dire 32% alors maintenant on peut en déduire la le pourcentage de cette partie là par exemple et même de cette partie là puisque les la courbe est complètement symétrique par rapport la kz 0 ici par rapport à la moyenne donc et du coup ça veut dire que cette aire qui est ici c'est sous la queue de distribution pour les valeurs inférieures à - 1 c'est là exactement la même mesure que la surface qui est là pour les valeurs supérieures à 1 donc finalement si je doit calculer je vais le faire r si je calcule cet air là en verre et bien ça c'est 16 % exactement la même manière que ça c'est 16% aussi alors maintenant le règle la question du petit à ses terres je vais faire je vais prendre un bleu foncé c'était en fait calculer le pourcentage des données inférieure à 1 donc ce que j'avais dit tout à l'heure là on voit plus rien et c'est que c'est en fait c'est toute cette partie là donc c'est la partie verte plus la partie rouge donc ici on doit avoir alors je vais le faire j'ai respecté le code couleur ces 16% plus 68% la partie ici verte qui représente 16% des données plus la partie rouge qui représente 68% des données et ça ça nous donne soit 16 + 68 ça fait 84 donc 84% donc le petit a ici c'est 84% voilà le petit b on va le faire le petit bébé c'est le pourcentage de données inférieur à 1 à moins un pardon donc c'est en fait c'est cette partie la partie là et on fait ça on l'a déjà calculé ses 16% 1 donc ça c'est 16% déjà calculé ici on a donc 16 % elle je peux faire une petite remarque quand même parce que il s'agit de ranger les valeurs dans l'ordre croissant pour ranger ses deux valeurs là on pouvait le faire sans même les calculs et puisque évidemment pourcentage de données inférieur à 1 va être supérieur pourcentage de données inférieures à moins bien sûr alors ensuite la moyenne mais la moyenne tout simplement ça c'est pas très compliqué on peut le faire directement c'est 0 l'écart type c'est un sas et les paramètres de la loi normale centrée réduite donc on peut les donner tout de suite et donc il nous reste à calculer le pourcentage de données supérieures à 2 supérieure à 2 alors là je vais prendre du violet alors le pourcentage de données supérieures à 2 ça va être tout ce qui se trouve ici que je hachures en violet ici donc c'est tout c'est la lettre l'air de cette cours de cette partie là du plan pour les valeurs supérieures à 2 alors comment est ce qu'on va faire pour calculer saba il faut encore une fois utilisé la règle empirique mais alors cette fois ci avec cette donnée-là 95% ça sert alors je vais me faire semblant quand on est ici quand le pourcentage des données c'est ce que nous dit la règle empirique le pourcentage des données qui s'écarte de moins de 2 et karthik de la moyenne c'est 95% donc en fait toute cette partie là que je à fuir cette fois ci en blanc faire comme ça pour ça se voit mieux cette partie là ça c'est 95% puisque là on est effectivement on est dans la partie qui s'écarte de moins de deux écarts types de la moyenne donc ça représente 95% des données alors ça veut dire que on peut va procéder exactement comme tout à l'heure ça veut dire que cette partie là cette partie là je hachures en violet plus cette partie là cette partie la plus c'est parti ici la somme de ces deux parties savent a représenté 95 pour cent pour cent moins 95% des données c'est-à-dire 5% des données donc finalement la partie qu'on cherche la partie qu'on cherche à évaluer c'est celle là un jeu le fer rouge cette partie là ici c'est la moitié de 5% 5 % / 2 c'est à dire 2,5 pour cent voilà donc pour le petit e ici on trouve 2 5% voilà alors maintenant il faut qu'on résolve on va déterminer tous les pourcentages toutes les valeurs ici maintenant il faut qu on les range dans l'ordre croissant alors il ya quand même une petite ambiguïté là dedans parce que ici quand on dit le pourcentage de données inférieur en fait on sait pas s'il faut répondre 84 qui est le pourcentage de données inférieure à 1 ou bien s'il faut donner la proportion 1 ça aurait été plus clair si on avait ici dit la bourse la proportion de données inférieur à ce que à ce moment là on aurait su qu'il fallait absolument dire 0.84 est là de la même manière on aurait dit 0,16 et puis ici on aurait dit le pourcentage de données supérieur à 2,6 et si on parle du pourcentage il faut répondre 2,5 et si on parle de la proportion il faut répondre 0 0,25 ce qui est pas du tout la même chose évidemment l'ordre va être complètement changé alors là je pense que on va supposer qu'on parlait des proportions ça sera quand même je trouve ça un peu plus logique disons donc on va les ranger dans l'ordre alors le plus faible plus petits c'est la moyenne 0 donc c'est le petit s'est ensuite on a ce pourcentage le 12.5 % donc c'est 0,025 donc c'est le e ensuite c'est le b 16% 0,16 donc b ensuite c'est à 84 0.84 à et puis ensuite on à l'écart type qui est qui vaut 1 voilà c'est pas je vous met c'est la réponse des voilà donc là on les a rangé dans l'ordre croissant en supposant que l'on parlait des proportions voilà encore une fois on a réussi à faire cet exercice uniquement en utilisant la règle empirique qui est quand même une règle vraiment très utile