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Statistique et probabilités - Niveau 1

Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 4 

Leçon 2: Écart-réduit
Mathématiques
Statistique et probabilités - Niveau 1
Modélisation des distributions des données
Écart-réduit
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Écart-réduit

Google Classroom

Qu'est-ce qu'un écart-réduit ?

Un écart-réduit mesure de combien d'écarts-types une observation particulière est éloignée de la moyenne de la population.
La formule qui permet de calculer un écart-réduit :
z, equals, start fraction, start text, o, b, s, e, r, v, a, t, i, o, n, end text, minus, start text, m, o, y, e, n, n, e, end text, divided by, start text, e, with, \', on top, c, a, r, t, negative, t, y, p, e, end text, end fraction
Ou encore :
z, equals, start fraction, x, minus, mu, divided by, sigma, end fraction
Comment interpréter un écart-réduit ?
  • Un écart-réduit positif signifie que l'observation est supérieure à la moyenne.
  • Un écart-réduit négatif signifie que l'observation est inférieure à la moyenne.
  • Un écart-réduit proche de 0 signifie que l'observation est proche de la moyenne.
  • Une observation est considérée comme atypique si son écart-réduit est supérieur à 3 ou inférieur à minus, 3.
La vidéo.

Exemple 1

Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve d'histoire du brevet des collèges à Marseille qui suit la loi Normale d'espérance mu, equals, 85 et d'écart-type sigma, equals, 2.
Max a obtenu une note de 86 à l'épreuve.
Quel est l'écart-réduit de la note de Max ?
z=note de Max−moyenneeˊcart-typez=86−852z=12=0,5\begin{aligned}z&=\dfrac{\text{note de Max}-\text{moyenne}}{\text{écart-type}}\\ \\ z&=\dfrac{86-85}{2}\\ \\ z&=\dfrac{1}{2}=0{,}5\end{aligned}
L'écart-réduit est égal à 0, comma, 5. En d'autres termes, la note de Max est de 0, comma, 5 écarts-types au-dessus de la moyenne.

Exemple 2

Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve de mathématiques du brevet des collèges à Toulouse qui suit la loi Normale d'espérance mu, equals, 82 et d'écart-type sigma, equals, 4.
Max a obtenu une note de 74 à l'épreuve.
Quel est l'écart-réduit de la note de Max ?
z=note de Max−moyenneeˊcart-typez=74−824z=−84=−2\begin{aligned}z&=\dfrac{\text{note de Max}-\text{moyenne}}{\text{écart-type}}\\ \\ z&=\dfrac{74-82}{4}\\ \\ z&=\dfrac{-8}{4}=-2\end{aligned}
L'écart-réduit est égal à minus, 2. En d'autres termes, la note de Max est de 2 écarts-types en dessous de la moyenne.

Exercices d'application

Exercice A
  • Actuelle
Soit la variable aléatoire note obtenue à l'épreuve de mathématiques du brevet des collèges à Paris qui suit la loi Normale d'espérance mu, equals, 74 et d'écart-type sigma, equals, 4, comma, 0.
Nadia a obtenu une note de 70 à l'épreuve.
Calculer l'écart-réduit de la note de Nadia à cette épreuve du brevet.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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