Probabilité conditionnelle et indépendance

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre.

Par exemple, si on lance une pièce de monnaie non truquée, la probabilité qu'elle tombe sur Face est égale à $1/2$‍. Si on sait que c'est un mardi que la pièce est lancée, est-ce que cela change la probabilité qu'elle tombe sur Face ? Bien sûr que non ! La probabilité d'obtenir Face sachant que cette pièce est lancée un mardi est toujours égale à $1/2$‍. Les événements "Obtenir Face" et "Lancer la pièce un mardi" sont deux événements indépendants. Le fait que l'on soit mardi ne change pas la probabilité d'obtenir Face.

Ce n'est pas toujours aussi évident. Par exemple, si on considère le genre d'une personne et le fait qu'elle soit droitière ou gauchère. A priori, les événements "être d'un certain genre" et "être gaucher ou gauchère" sont des événements indépendants. Mais si on nous donne les informations qu'environ $10\mathrm{\%}$‍ des personnes dans le monde sont gauchères et qu'environ $12\mathrm{\%}$‍ des hommes sont gauchers, on est obligé de reconsidérer cet à priori. La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère sachant que cette personne est un homme n'est pas la même que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère si on ne précise pas son genre.

Par définition,

Les événement $\text{A}$‍ et $\text{B}$‍ sont indépendants équivaut à $p(\text{A }|\text{ B})=p(\text{A})$‍ et $p(\text{B }|\text{ A})=p(\text{B})$‍.

On a mené une enquête sur le salaire annuel de $300$‍ jeunes ingénieurs diplômés depuis moins d'un an de deux écoles différentes.

On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.

On calcule $p(\text{A})$‍ et $p(\text{A}|\text{B})$‍

Les données sont toujours les mêmes :

On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.

On calcule $p(\text{A})$‍ et $p(\text{A}|\text{B})$‍

Lorsqu'on vérifie l’indépendance de deux événements concrets, il est rare d’obtenir des probabilités parfaitement égales. Hormis les jeux de hasard, la majorité des événements réels dépendent dans une certaine mesure les uns des autres.

Dans la pratique, on suppose souvent que les événements sont indépendants et on teste cette hypothèse à partir des données observées sur un échantillon. Si les probabilités sont significativement différentes, on conclut que les événements ne sont pas indépendants. On y reviendra dans les chapitres relatifs à la statistique inférentielle

Enfin, il faut faire très attention à ne pas déduire trop vite d'un calcul sur une série de données qu'une relation entre deux variables est nécessairement une relation de cause à effet. Les deux variables peuvent en effet être dépendantes d'une même troisième variable.