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Statistique et probabilités - Niveau 1
Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 7
Leçon 9: Probabilité conditionnelle et indépendance- Calculer une probabilité conditionnelle
- Probabilité conditionnelle et tableaux croisés
- Calculer une probabilité conditionnelle
- Probabilité conditionnelle et schéma en arbre
- Arbres pondérés et probabilités conditionnelles
- Probabilité conditionnelle et indépendance
- Etudier l'indépendance de deux événements
- Événements dépendants et indépendants
Probabilité conditionnelle et indépendance
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre.
Par exemple, si on lance une pièce de monnaie non truquée, la probabilité qu'elle tombe sur Face est égale à 1, slash, 2. Si on sait que c'est un mardi que la pièce est lancée, est-ce que cela change la probabilité qu'elle tombe sur Face ? Bien sûr que non ! La probabilité d'obtenir Face sachant que cette pièce est lancée un mardi est toujours égale à 1, slash, 2. Les événements "Obtenir Face" et "Lancer la pièce un mardi" sont deux événements indépendants. Le fait que l'on soit mardi ne change pas la probabilité d'obtenir Face.
Ce n'est pas toujours aussi évident. Par exemple, si on considère le genre d'une personne et le fait qu'elle soit droitière ou gauchère. A priori, les événements "être d'un certain genre" et "être gaucher ou gauchère" sont des événements indépendants. Mais si on nous donne les informations qu'environ 10, percent des personnes dans le monde sont gauchères et qu'environ 12, percent des hommes sont gauchers, on est obligé de reconsidérer cet à priori. La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère sachant que cette personne est un homme n'est pas la même que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère si on ne précise pas son genre.
Par définition,
Les événement start text, A, end text et start text, B, end text sont indépendants équivaut à p, left parenthesis, start text, A, space, end text, vertical bar, start text, space, B, end text, right parenthesis, equals, p, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis et p, left parenthesis, start text, B, space, end text, vertical bar, start text, space, A, end text, right parenthesis, equals, p, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis.
Exemple 1 : Salaire annuel et école d'ingénieur
On a mené une enquête sur le salaire annuel de 300 jeunes ingénieurs diplômés depuis moins d'un an de deux écoles différentes.
Salaire annuel | Ecole A | Ecole B | TOTAL |
---|---|---|---|
Moins de 19, space, 999, space, € | 36 | 24 | 60 |
20, space, 000, space, € à 39, space, 999, space, € | 109 | 56 | 165 |
40, space, 000, space, € et plus | 35 | 40 | 75 |
TOTAL | 180 | 120 | 300 |
On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.
Les événements start text, A, end text : "Son salaire annuel est supérieur ou égal à 40, space, 000, space, €" et start text, B, end text : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
On calcule p, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis et p, left parenthesis, start text, A, end text, vertical bar, start text, B, end text, right parenthesis
Exemple 2 : Salaire annuel et école d'ingénieur (suite)
Les données sont toujours les mêmes :
Salaire annuel | Ecole A | Ecole B | TOTAL |
---|---|---|---|
Moins de 19, space, 999, space, € | 36 | 24 | 60 |
20, space, 000, space, € à 39, space, 999, space, € | 109 | 56 | 165 |
40, space, 000, space, € et plus | 35 | 40 | 75 |
TOTAL | 180 | 120 | 300 |
On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.
Les événements start text, A, end text : "Son salaire annuel est inférieur ou égal à 19, space, 999, space, €" et start text, B, end text : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
On calcule p, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis et p, left parenthesis, start text, A, end text, vertical bar, start text, B, end text, right parenthesis
Et si les deux résultats sont très proches ?
Lorsqu'on vérifie l’indépendance de deux événements concrets, il est rare d’obtenir des probabilités parfaitement égales. Hormis les jeux de hasard, la majorité des événements réels dépendent dans une certaine mesure les uns des autres.
Dans la pratique, on suppose souvent que les événements sont indépendants et on teste cette hypothèse à partir des données observées sur un échantillon. Si les probabilités sont significativement différentes, on conclut que les événements ne sont pas indépendants. On y reviendra dans les chapitres relatifs à la statistique inférentielle
Enfin, il faut faire très attention à ne pas déduire trop vite d'un calcul sur une série de données qu'une relation entre deux variables est nécessairement une relation de cause à effet. Les deux variables peuvent en effet être dépendantes d'une même troisième variable.
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Au sein d’un groupe de 30 enfants, 25 aiment le jaune (événement J) et 8 aiment le noir (événement N) . Sachant que J U N = 27, que vaut P(N|J) ?(1 vote)