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Statistique et probabilités - Niveau 1

Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 7 

Leçon 9: Probabilité conditionnelle et indépendance
Mathématiques
Statistique et probabilités - Niveau 1
Probabilités
Probabilité conditionnelle et indépendance
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Arbres pondérés et probabilités conditionnelles

Google Classroom

Exemple : Contrôle des bagages dans un aéroport

Dans un aéroport on teste un nouveau dispositif de contrôle des bagages des passagers. Une alarme est censée se déclencher si le bagage scanné contient un objet interdit. On a pu établir que :
  • Si 5, percent des bagages contrôlés contiennent un objet interdit,
  • la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage contient un objet interdit est égale à 0, comma, 98.
  • la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage ne contient pas d'objet interdit est égale à 0, comma, 08.
On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
On va construire un arbre pas à pas..

Les deux branches principales

Soit le bagage contient un objet interdit, soit il n'en contient pas.
On appelle I l'événement "le bagage contient un objet interdit". P, left parenthesis, I, right parenthesis, equals, 0, comma, 05.
Question 1
Quelle est la probabilité qu’un bagage choisi au hasard ne contienne pas d'objet interdit ?
P, left parenthesis, start overline, I, end overline, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Les quatre branches secondaires

Si un bagage contient un objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à 0, comma, 98.
Si un bagage ne contient pas d'objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à 0, comma, 08.
On appelle A l'événement "l'alarme se déclenche". Voici toutes les branches de l'arbre :
Question 2
Si un bagage contient un objet interdit quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?
question mark, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Question 3
Si un bagage ne contient pas d'objet interdit, quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?
question mark, start subscript, 2, end subscript, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

L'arbre terminé

Cet arbre comporte 4 chemins. L'événement défini par un chemin, est l'intersection des événements allant de la racine (ou origine) à l'extrémité de ce chemin. Si le chemin va de la racine à l’événement A puis à l'événement B, l'événement défini par ce chemin est A, ᑎ, B et p, left parenthesis, A, ᑎ, B, right parenthesis, equals, p, left parenthesis, A, right parenthesis, ×, p, left parenthesis, B, vertical bar, A, right parenthesis
Voici l'arbre :

Retour à la question posée

On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
On cherche la probabilité que le bagage contienne un objet interdit sachant que l'alarme s'est déclenchée. On utilise la formule :
P, left parenthesis, start text, I, end text, vertical bar, start text, space, A, end text, right parenthesis, equals, start fraction, P, left parenthesis, start text, I, end text, \cap, start text, A, end text, right parenthesis, divided by, P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, end fraction
Question 4
Quelle est la probabilité que le bagage choisi au hasard contienne un objet interdit ET que l'alarme se déclenche ?
P, left parenthesis, start text, I, end text, \cap, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Question 5
Quelle est la probabilité qu'un bagage choisi au hasard fasse déclencher l'alarme ?
P, left parenthesis, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Question 6
On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, I, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

A vous

Pour dépister une certaine maladie l'hôpital d'Alphaville utilise un test biologique. Si le patient est atteint de cette maladie, le test est "positif". Dans le cas contraire, le test est "négatif". Mais le test n'est pas infaillible.
  • 10, percent de la population d'Alphaville est atteint par la maladie.
  • Si le patient est atteint par la maladie, le test est positif dans 99, percent des cas.
  • Si le patient n'est pas atteint par la maladie, le test est positif dans 5, percent des cas.
On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?
Étape 1
On appelle A l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie" et plus l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif. Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie ET son test est positif".
P, left parenthesis, start text, A, end text, \cap, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Étape 2
Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif".
P, left parenthesis, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Étape 3
On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, A, end text, vertical bar, start text, plus, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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