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Statistique et probabilités - Niveau 1

Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 7 

Leçon 9: Probabilité conditionnelle et indépendance
Mathématiques
Statistique et probabilités - Niveau 1
Probabilités
Probabilité conditionnelle et indépendance
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Arbres pondérés et probabilités conditionnelles

Google Classroom

Exemple : Contrôle des bagages dans un aéroport

Dans un aéroport on teste un nouveau dispositif de contrôle des bagages des passagers. Une alarme est censée se déclencher si le bagage scanné contient un objet interdit. On a pu établir que :
  • Si 5% des bagages contrôlés contiennent un objet interdit,
  • la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage contient un objet interdit est égale à 0,98.
  • la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage ne contient pas d'objet interdit est égale à 0,08.
On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
On va construire un arbre pas à pas..

Les deux branches principales

Soit le bagage contient un objet interdit, soit il n'en contient pas.
On appelle I l'événement "le bagage contient un objet interdit". P(I)=0,05.
Question 1
Quelle est la probabilité qu’un bagage choisi au hasard ne contienne pas d'objet interdit ?
P(I―)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Les quatre branches secondaires

Si un bagage contient un objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à 0,98.
Si un bagage ne contient pas d'objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à 0,08.
On appelle A l'événement "l'alarme se déclenche". Voici toutes les branches de l'arbre :
Question 2
Si un bagage contient un objet interdit quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?
?1=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Question 3
Si un bagage ne contient pas d'objet interdit, quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?
?2=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

L'arbre terminé

Cet arbre comporte 4 chemins. L'événement défini par un chemin, est l'intersection des événements allant de la racine (ou origine) à l'extrémité de ce chemin. Si le chemin va de la racine à l’événement A puis à l'événement B, l'événement défini par ce chemin est AᑎB et p(AᑎB)=p(A)×p(B|A)
Voici l'arbre :

Retour à la question posée

On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
On cherche la probabilité que le bagage contienne un objet interdit sachant que l'alarme s'est déclenchée. On utilise la formule :
P(I| A)=P(I∩A)P(A)
Question 4
Quelle est la probabilité que le bagage choisi au hasard contienne un objet interdit ET que l'alarme se déclenche ?
P(I∩A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Question 5
Quelle est la probabilité qu'un bagage choisi au hasard fasse déclencher l'alarme ?
P(A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Question 6
On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
Arrondir la réponse au millième.
P(I|A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

A vous

Pour dépister une certaine maladie l'hôpital d'Alphaville utilise un test biologique. Si le patient est atteint de cette maladie, le test est "positif". Dans le cas contraire, le test est "négatif". Mais le test n'est pas infaillible.
  • 10% de la population d'Alphaville est atteint par la maladie.
  • Si le patient est atteint par la maladie, le test est positif dans 99% des cas.
  • Si le patient n'est pas atteint par la maladie, le test est positif dans 5% des cas.
On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?
Étape 1
On appelle A l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie" et + l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif. Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie ET son test est positif".
P(A∩+)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Étape 2
Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif".
P(+)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Étape 3
On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?
Arrondir la réponse au millième.
P(A|+)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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