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Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 7

Leçon 9: Probabilité conditionnelle et indépendance

Arbres pondérés et probabilités conditionnelles

Exemple : Contrôle des bagages dans un aéroport

Dans un aéroport on teste un nouveau dispositif de contrôle des bagages des passagers. Une alarme est censée se déclencher si le bagage scanné contient un objet interdit. On a pu établir que :

Si $5 %$ ‍ des bagages contrôlés contiennent un objet interdit,
la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage contient un objet interdit est égale à $0, 98$ ‍.
la probabilité que l'alarme se déclenche si un bagage ne contient pas d'objet interdit est égale à $0, 08$ ‍.

On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?

On va construire un arbre pas à pas..

Les deux branches principales

Soit le bagage contient un objet interdit, soit il n'en contient pas.

On appelle $I$ ‍ l'événement "le bagage contient un objet interdit". $P (I) = 0, 05$ ‍.

Question 1

Quelle est la probabilité qu’un bagage choisi au hasard ne contienne pas d'objet interdit ?

P (\overset{―}{I}) =

Les quatre branches secondaires

Si un bagage contient un objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à $0, 98$ ‍.

Si un bagage ne contient pas d'objet interdit la probabilité que l'alarme se déclenche est égale à $0, 08$ ‍.

On appelle

A

l'événement "l'alarme se déclenche". Voici toutes les branches de l'arbre :

Question 2

Si un bagage contient un objet interdit quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?

?_{1} =

Question 3

Si un bagage ne contient pas d'objet interdit, quelle est la probabilité que l'alarme ne se déclenche pas ?

?_{2} =

L'arbre terminé

Cet arbre comporte

4

chemins. L'événement défini par un chemin, est l'intersection des événements allant de la racine (ou origine) à l'extrémité de ce chemin. Si le chemin va de la racine à l’événement

A

puis à l'événement

B

, l'événement défini par ce chemin est

A ᑎ B

p (A ᑎ B) = p (A) \times p (B | A)

Voici l'arbre :

Retour à la question posée

On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?

On cherche la probabilité que le bagage contienne un objet interdit sachant que l'alarme s'est déclenchée. On utilise la formule :

P (I | A) = \frac{P (I \cap A)}{P (A)}

Question 4

Quelle est la probabilité que le bagage choisi au hasard contienne un objet interdit ET que l'alarme se déclenche ?

P (I \cap A) =

Question 5

Quelle est la probabilité qu'un bagage choisi au hasard fasse déclencher l'alarme ?

P (A) =

Question 6

On choisit au hasard un des bagages qui a fait se déclencher l'alarme. Quelle est la probabilité que ce bagage contienne un objet interdit ?
Arrondir la réponse au millième.

P (I | A) =

A priori, on peut penser que si l'alarme se déclenche le plus probable est que le bagage contienne un objet interdit. Or, d'après les calculs cette probabilité est inférieure à

0, 5

C'est parce que la grande majorité des bagages ne contient pas d'objet interdit. Quand on les scanne tous, l'alarme ne se déclenche à tort que dans quelques pourcents des cas. Mais quelques pourcents des cas sur un très grand nombre peuvent constituer un grand nombre de cas. Voici les effectifs que l'on obtient sur l'arbre de probabilités si l'univers est constitué de

1000

bagages.

Il y a relativement peu de bagages contenant un objet interdit et ils ont pratiquement tous fait déclencher l'alarme. Et pourtant le nombre de fois où l'alarme s'est déclenchée à tort est très élévé.

Donc si un bagage déclenche l'alarme, le plus probable est qu'il NE CONTIENNE PAS d'objet interdit.

A vous

Pour dépister une certaine maladie l'hôpital d'Alphaville utilise un test biologique. Si le patient est atteint de cette maladie, le test est "positif". Dans le cas contraire, le test est "négatif". Mais le test n'est pas infaillible.

$10 %$ ‍ de la population d'Alphaville est atteint par la maladie.
Si le patient est atteint par la maladie, le test est positif dans $99 %$ ‍ des cas.
Si le patient n'est pas atteint par la maladie, le test est positif dans $5 %$ ‍ des cas.

On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?

Étape 1

On appelle $A$ ‍ l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie" et $+$ ‍ l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif. Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard est atteint de la maladie ET son test est positif".

P (A \cap +) =

Étape 2

Calculer la probabilité de l'événement "le patient choisi au hasard a un test positif".

P (+) =

Étape 3

On choisit au hasard un patient dont le test est positif. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint de la maladie ?
Arrondir la réponse au millième.

P (A | +) =

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vslbrm536
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de vslbrm536 «Dans la partie Retour à l ... »
Dans la partie Retour à la question posée explication de la formule, que vient faire la lettre F ? Merci
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