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Statistique et probabilités - Niveau 1

Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 7 

Leçon 7: Evénements indépendants
Mathématiques
Statistique et probabilités - Niveau 1
Probabilités
Evénements indépendants
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Probabilité d'obtenir "au moins un" succès

Google Classroom

Exemple 1 : Puces électroniques défectueuses

Une usine produit en grande quantité des puces électroniques dont, en moyenne, 2, percent sont défectueuses.
Le contrôleur qualité de l'usine prélève aléatoirement dans cette production 4 puces.
On admet que les tirages des puces sont indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une puce défectueuse ?
Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.
Exemple 1: Exercice A
On choisit une puce au hasard. On appelle A l'événement "la puce n'est PAS défectueuse". Calculer la probabilité de A.
P, left parenthesis, start text, p, u, c, e, space, d, e, with, \', on top, f, e, c, t, u, e, u, s, e, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, B, right parenthesis, equals, 0, comma, 02. B étant l'événement contraire de A.
P, left parenthesis, start text, p, u, c, e, space, n, o, n, space, d, e, with, \', on top, f, e, c, t, u, e, u, s, e, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, A, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 1: Exercice B
On choisit quatre puces au hasard. Calculer la probabilité de l'événement "les 4 puces ne sont PAS défectueuses".
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, l, e, s, space, 4, space, p, u, c, e, s, space, n, e, space, s, o, n, t, space, P, A, S, space, d, e, with, \', on top, f, e, c, t, u, e, u, s, e, s, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 1: Exercice C
On choisit quatre puces au hasard. Calculer la probabilité de l'événement "au moins une des puces est défectueuse".
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, a, u, space, m, o, i, n, s, space, u, n, e, space, p, u, c, e, space, e, s, t, space, d, e, with, \', on top, f, e, c, t, u, e, u, s, e, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 2 : Implants chirurgicaux

La chirurgie implantaire est une branche de la chirurgie consistant à poser des implants qui peuvent être parfois rejetés par le corps humain. Dans un service de chirurgie implantaire, le taux de rejet est de 11, percent. Le reste des patients accepte l'implant.
On admet que les résultats pour chaque patient sont indépendants.
Exemple 2
Dans un échantillon aléatoire de 8 patients de ce service, calculer la probabilité de l'événement "au moins un des patients rejette l'implant".
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, a, u, space, m, o, i, n, s, space, u, n, space, p, a, t, i, e, n, t, space, r, e, j, e, t, t, e, space, l, apostrophe, i, m, p, l, a, n, t, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 3 : Lancers francs

Esther est basketteuse, elle réussit 75, percent de ses lancers francs. On admet que le résultat d'un lancer franc est indépendant du résultat du lancer franc précédent.
Exemple 3
Si Esther s'apprête à faire 3 lancers francs, calculer la probabilité de l'événement "elle rate au moins un lancer franc".
Arrondir la réponse au millième.
P, left parenthesis, start text, e, l, l, e, space, r, a, t, e, space, a, u, space, m, o, i, n, s, space, u, n, space, l, a, n, c, e, r, space, f, r, a, n, c, end text, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Généralisation

Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli, et que l'on cherche la probabilité d'obtenir au moins un succès :
P, left parenthesis, start text, o, b, t, e, n, i, r, space, a, u, space, m, o, i, n, s, space, 1, space, s, u, c, c, e, with, \`, on top, s, end text, right parenthesis, equals, 1, minus, P, left parenthesis, start text, o, b, t, e, n, i, r, space, q, u, e, space, d, e, s, space, e, with, \', on top, c, h, e, c, s, end text, right parenthesis
ou,
P, left parenthesis, start text, o, b, t, e, n, i, r, space, a, u, space, m, o, i, n, s, space, 1, space, e, with, \', on top, c, h, e, c, end text, right parenthesis, equals, 1, minus, P, left parenthesis, start text, o, b, t, e, n, i, r, space, q, u, e, space, d, e, s, space, s, u, c, c, e, with, \`, on top, s, end text, right parenthesis

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Daesvinor
    Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Daesvinor «Comment généralise-t-on p ... »
    Comment généralise-t-on pour plus que "au moins 1" ?
    Je prends l'exemple des implants : comment peut-on calculer la probabilité que "au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant" ?
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «"Au moins 3 patients sur ... »
      "Au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant" signifie que "3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 patients rejettent l'implant".
      Dans ce cas aussi il est plus rapide de calculer la probabilité de l'événement contraire.
      Si A est l'événement "au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant", l'événement contraire Ā est "0 patient rejette l'implant OU 1 patient rejette l'implant OU 2 patients rejettent l'implant".
      p(Ā) = p(0 patient rejette l'implant) + p(1 patient rejette l'implant) + p(2 patients rejettent l'implant)
      Connaissant p(Ā), on en déduit p(A) en appliquant la formule P(A) = 1 - p(Ā).
      (4 votes)
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