Loi binomiale

alors dans les vidéos précédentes on avait vu ce qu'était qu'une loi de probabilité on a vu ça dans le cas d'une variable discrète et puis on avait vu aussi que dans le cas d'une variable aléatoire continue il fallait parler d'une densité de probabilité d'une fonction densité de probabilité voilà donc là aujourd'hui est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est voir quelques cas courant de deux variables aléatoires et 2 et de lois de probabilité alors je vais prendre un cas très classique qu'on a déjà vu plusieurs fois c'est celui d'une pièce de monnaie je vais prendre une pièce de monnaie non truquées non truquées donc il ya autant de chances de côte de tomber du côté pile que du côté face et puis je vais la lancer 5 x 5 lancé je vais faire cinq lancers de cette pièce de monnaie puis je vais définir ma variable aléatoire qui va être la variable je vais l'appeler x est en fait c'est tout simplement le nombre de faces que j'ai obtenus dans les cinq clans c'est donc la variable aléatoire x c'est le nombre de faces obtenu en cinq lancers bon ça on peut imaginer soit qu'on a une pièce qu'on lance cinq fois de suite soit qu'on a cinq pièces non truquées toutes équivalentes et qu'on lance tout en même temps puis on compte le nombre de fois qu'on a eut obtenu face bon ça revient exactement au même là on va tout simplement se dire qu'on a une pièce et qu'on l'a on la lance cinq fois alors notre variable aléatoire bon comme on commençait un c'est pas tout c'est pas c'est pas comme une variable au sens algébrique du terme puisque là c'est plutôt une fonction en fait c'est notre variable aléatoire elle va assigner à chaque résultat de l'expérience une valeur numérique ben on va se poser quelques questions va se demander quelles sont les probabilités que la variable x prennent un certain nombre de valeurs on va commencer par exemple par se demander quelle est la probabilité que la variable x soit égal à zéro alors x est égal à zéro ça veut dire que on a obtenu 0 x face en cinq lancers donc en fait c'est la même chose que de dire que on a obtenu cinq fois pile c'est la probabilité de cet événement là un pil pil pil pile c'est vraiment là on va faire de la révision finalement de calcul des probabilités 1 comme on a fait dans d'autres vidéos bien avant donc là comment est ce qu'on fait pour calculer ça eh ben on se rappelle simplement que les cinq lancers sont évidemment indépendants les uns des autres et qu'à chaque fois il ya une chance sur deux obtenir pile donc la probabilité d'obtenir pilot premiers lancers c'est un demi pis le deuxième lancer c'est un demi au troisième c'est un demi aussi au quatrième c'est un demi aussi au cinquième c'est un dominé aussi donc finalement on n'obtient que c'est un sur un demi pardon puissance 5 puisqu'il ya cinq lancers donc ça on peut le calculer ça fait 1 sur 2 puis 105 depuis 105 ça fait 32 voilà ok bon ça c'est pas trop difficile alors on va continuer pour ça va te paraître peut-être un peu trop de un peu de la révision effectivement mais c'est important parce que ça va te donner je pense l'intuition de 2 comment est ce qu'on construit une loi de probabilité dans le cas d'une variable discrète alors je continue on va maintenant essayer de calculer la probabilité que x soit égal à 1 alors x égal à 1 ça veut dire qu on obtient une fois face donc c'est la probabilité d'obtenir exactement une fois face en cinq lancers pour faire ça ben je sais pas si tu te souviens mais on avait on peut avoir par exemple face aux premiers lancers pile au deuxième puis le troisième pilote 4e et pilot 5e pourrait avoir aussi pilot premier face au deuxième puis au troisième puis au quatrième et pilot 5e enfin voilà alors on peut déjà si essayé de calculer la probabilité de jacques chaque issue de ce genre là la g dans le cas de cette première il suffit face pil pil pil pil j'ai une chance sur deux que d'avoir face aux premiers une chance sur deux d'avoir pilot deuxième une chance sur deux d'avoir pilot troisième chance sur deux d'avoir pilot quatrième une chance sur deux d'avoir pilot cinquième donc finalement la probabilité d'une issue de ce genre là là celle-là c'est comme tout à l'heure c'est un demi puis 105 c1 sur 32 1 et puis je peux faire exactement le même calcul avec une issue de ce genre là ça sera pareil j'obtiendrai encore une fois une chance sur 32 et en fait j obtiens ça pour n'importe quelle issue où il ya une fois fasse exactement alors maintenant il suffit que je calcule le nombre de dix sujets une seule fois face et bien il y en a cinq puisque je peux choisir de mettre face en première position ou en deuxième ou en troisième ou en 4e ou en cinquième donc finalement j'ai la probabilité que x soit égal à 1 et bien c'est 5 x 1 sur 32 5 fois la probabilité d'une issue de ce genre là et donc ça fait 5 sur 32 voilà alors on continue je vais changer de couleur maintenant on va calculer la probabilité que la variable x soit égal à 2 alors et x est égale à deux ça veut dire qu'on obtient deux fois face en cinq lancers on va essayer de raisonner un peu comme tout à l'heure donc on peut avoir par exemple face face pil pil pil peut avoir aussi face pile face pil pil mais bon là on voit vite que ce serait un peu épuisant d'aller à noter même un peu dangereux dans est un peu risqué d'aller essayer d'écrire toutes les combinaisons possibles toutes les possibilités d'avoir deux fois face par contre ce qu'on peut voir tout de suite c'est que chacune de ces issues là elle a une chance sur 32 d'être réalisé la probabilité d'une issue de ce genre la c1 sur 32 comme on a vu tout à l'heure alors maintenant on sort on est réduit comme tout à l'heure a essayé de calculer le nombre qui a dit sue favorable c'est-à-dire finalement le nombre de façons d'avoir obtenu face deux fois quand on lance cinq fois de suite la pièce de monnaie alors c'est un peu plus compliqué que tout à l'heure et tout à l'heure il suffisait de compter le nombre de places qu'il y avait là c'est un peu plus difficile et en fait c'est exactement ce qu'on a vu dans certaines vidéos sur le calcul des probabilités avec les dénombrements en fait là on doit calculer le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 5 alors ce qu'il faut qu'on fasse ici c'est exactement supposer que on a nos cinq lancers que parmi ces cinq lancers on va en choisir deux pour lesquels l'issue sera face en fait on peut voir ça aussi en disant qu' on peut on a deux emplacements et puis nos cinq lancers on va en choisir deux qu'on va mettre dans ces deux emplacements alors là je vais dessiner mais emplacement par exemple ça c'est les deux emplacements alors je vais choisir le lancer qui va que je vais mettre dans le premier remplacement bon alors puisque j'ai cinq classes lancers au total ici j'ai cinq choix possible pour remplir le premier emplacement et puis le deuxième emplacement bages et puisque j'ai rempli déjà le premier j'ai plus que quatre choix possible voilà donc ça ça me donne finalement 5 x 4 emplacements 5 x 4 choix possible mais là quand je fais comme ça en fait je compte deux fois des cas qui sont égaux par exemple je compte deux fois le cas où j'ai obtenu le premier emploi la première fois face ici dans le deuxième emplacement et la deuxième fois dans le premier et puis un autre cas où j'aurais juste interverti les deux issues en fait ici ce qu'il faut bien comprendre c'est qu'à pas d'histoire de premier favori hier fois qu'on obtient face et deuxième fois qu'on obtient face donc ça c'est pas important donc il va falloir / les permutations de deux éléments c'est à dire par deux donc finalement on obtient ce nombre là 5 x 4 qu'on doit diviser par deux mais en fait ici deux c2 factorielle et si on avait eu trois emplacements et bien on aurait divisé par 3 factorielle si on a vu quatre emplacements on aurait divisé par 4 factorielle voilà donc finalement ce nombre là 5 x 4 / par deux ça fait 10 et ça c'est ce qu'on avait appelé le nombre c'est le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 5 ce qu'on avait noté que de cette manière là donc la probabilité que x soit égal à 2 c je vais l'écrire déjà comme ça foi de ces lacombe le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 5 x la probabilité de chaque issue qui est un sur 32 et ça ça fait dix sur 32 donc ça c'est aussi 5 sur 16 voilà alors je vais quand même ce sera peut-être pas inutile quand même que je réécris fsa ce nombre que j'ai obtenus ici je vais leur écrire pour faire apparaître la formule donc en fait ce qu'on avait c'est 5 factorielle / 3 factorielle ça c'est exactement 5 x 4 puisque cinq factorielle ses 5 x 4 x 3 x 2 x 1 donc ces 5 x 4 x 3 factorielle ici donc finalement quand j'écris 5 x 4 en fait j'écris 5 factorielle / 3 factorielle puis il fallait diviser sa aussi par 2 1 mais 2 ces deux factorielle donc voilà on obtient exactement cette expression à 5 factorielle / 2 factorielle x 3 factorielle ce qui est exactement l'expression de du nombre de combinaisons de deux éléments parmi 500 considérer l'ordre alors maintenant on va calculer la probabilité je vais faire un trait ici la probabilité que x soit égal à 3 donc c'est la probabilité d'obtenir trois fois face en cinq lancers alors on peut faire exactement le même raisonnement tout à l'heure c'est à dire qu'on a un certain nombre d'issues et on va calculer par exemple toutes les issues de ce genre là où il ya trois fois face en fait chacune de ces issues va avoir une probabilité de 1 sur 32 comme tout à l'heure mais on en est réduit à calculer le nombre de combinaisons possibles de trois éléments parmi 5 cette fois ci il faut qu'on choisisse trois emplacements alors on va calculer du coup ce nombre-là 5 nombre de combinaisons de trois éléments parmi 5 eh bien ça ça va être alors on va le faire comme tout à l'heure le premier premier emplacement on doit choisir trois lancers parmi cinq donc le premier lancer g5 peuvent façon de choisir le deuxième j'en ai 4 le troisième j'en ai trois et puis ça il faut que je le divise par le nombre de permutations de trois éléments donc ça c'est 3 factorielle voilà alors bon j'avais fait ça un peu plus clairement dans les dents les autres vidéos que tu peux aller voir sur les probabilités au fait si on a trois lettres par exemple a baissé on va calculer le nombre de permutations qu'il ya de ces trois lettres par exemple on peut écrire que c'est b à c ou alors b c à il y en a d'autres encore ça peut être c b a ou bien qu'est-ce que j'ai qu'est-ce que j'ai pas fait en corse et ab et puis à c b voilà et donc j'en dise j'en ai six 6 et 3 factorielle donc si on considère pas l'ordre en fait ces trois possibilités si possibilité là pardon sont équivalents parce que ces trois lettres qui sont mis dans un ordre qui nous intéresse pas donc là c'est exactement la même chose donc ça je vais je vais l'enlever voilà donc là on exactement 7 dans ce cas là on ça nous intéresse pas de savoir dans quel ordre on a obtenu les faces donc on va diviser par ce 3 factorielle qui est nombre de permutations de trois éléments si on avait quatre éléments le nombre de permutations ça serait 4 factorielle donc là je vais le calcul est alors 5 x 4 x 3 3 factorielle c'est alors je vais écrit comme ça 5 x 4 x 3 / 3 factorielle ces 3 x 2 x 1 donc la gse 3 qui s'en va 4 / 2 ça fait 2 donc finalement 4 / de sa fait 2 donc fait à manger 10 et donc finalement la probabilité que x ou égal à 3 et bien c'est je vais le noter comme tout à l'heure c'est le nombre de combinaisons de trois éléments parmi 500 comptes et l'ordre x 1 sur 32 est-ce que ça c'est la probabilité de chaque issue de ce genre là et donc ça ça fait dix sur 32 ou alors 5 sur 16 voilà et on obtient exactement le même résultat que tout à l'heure d'ailleurs ça c'est intéressant parce que finalement on trouve que la probabilité que x soit égal à 3 donc la probabilité d'obtenir trois fois fasse exactement la même que la probabilité d'obtenir deux fois face et ça ça se comprend parce que finalement la probabilité d'obtenir trois fois face bah c'est la même chose que la probabilité d'obtenir deux fois pile mais la probabilité d'obtenir deux fois piles et bien c'est la même chose c'est la même normalement que la probabilité d'obtenir deux fois face puisque la pièce n'est pas truquée donc là c'est bien parce qu'on retrouve quand même quelque chose une correspondance assez logique alors on continue on a presque terminé un maintenant je vais calculer la probabilité que x soit égal à 4 donc c'est la probabilité d'obtenir quatre fois face alors bon on pourrait refaire tout le raisonnement mais on peut aussi appliquer la formule directement donc c'est qu'elle ça sera quelque chose de ce genre là le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 5 et chaque issue à une probabilité de 1 sur 32 donc on va avoir ce nombre là alors quatre le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi 5 et bien ça va être cinq fois 4 x 3 x 2 / le nombre de permutations donc ces quatre factorielle de qu'il faut multiplier par 1 sur 32 alors maintenant c'est quand j'écris 4 x 3 x 2 4 x 3 x 2 sa c4 factorielle puisque quatre sectorielle ses 4 x 3 x 2 x 1 donc finalement ça 4 x 3 x 2 et 4 factorielle ça se simplifient et je trouve que la probabilité que x ou est égal à 4 et bien c'est 5 / 32,5 sur 32 et je trouve exactement la même chose que la probabilité que xo est égal à 1 c'est exactement le même nombre et comme tout à l'heure ça se comprend puisque la probabilité que x soit égal à 4 en fait l'événement x est égal à 4 c j'obtiens quatre fois face donc j'obtiens une seule fois pile donc c'est exactement la même chose que la probabilité d'obtenir une fois piles et puisque la pièce n'est pas truquée bien la probabilité d'obtenir une fois piles et c'est exactement la même que la probabilité d'obtenir une fois face donc là encore je retrouve un résultat assez logique voilà là on a presque terminé nous reste plus qu'à calculer la probabilité que x soit égale à 5 puisque c'est la dernière valeur que peut prendre la variable x on peut pas obtenir plus de cinq fois face en cinq lancers évidemment donc ça c'est la dernière valeur possible alors quelle est la probabilité de cet événement la x est égal à 5 finalement l'événement x et luc égale à 5 c'est uniquement cette possibilité la face face face face donc finalement il ya une chance sur 32 que ce soit réalisé donc la probabilité que x soit égale à 5 c'est une chance sur 32 ans on peut voir ça comme ça en disant qu'il ya un cas favorable à cet événement laïque c'est le gala cinq parmi les 32 résultat possible comme tout à l'heure ici dans la probabilité de x est égal à 4 il y avait cinq cas favorable parmi les trente deux là s'étaient dits cas favorable ici c'était dix cas favorable aussi est ici c'était cinq cas favorable voilà donc ça c'est une autre façon de voir alors voilà là on a complètement défini la loi de probabilité de la variable aléatoire x1 puisqu'on à déterminer la probabilité de chaque de chaque valeur possible de la variable maintenant ce qui nous reste à faire c'est de tracer un histogramme ou un diagramme en bâton de 7,7 lois de probabilité pour pouvoir la visualiser bon on n'a pas le temps de le faire là mais je le ferai dans une autre vidéo et puis si tu as le courage si tu en vises ça serait pas mal que tu le fasses avant de regarder la prochaine vidéo à bientôt