Loi binomiale - exemple

un joueur de basket s'entraîne aux lancers francs ce joueur est assez bon et il réussit sont lancés dans 70 % des cas quelle est la probabilité qu'ils réussissent exactement deux lancers francs dans une série de six ce qu'on nous dit ici c'est que le joueur réussit son lancer franc dans 70% des cas alors je vais notées çà comme çà on va noter l'événement au c'est l'événement oui il réussisse son lancer franc donc c'est lancé frans réussi et puis du coup je les ai noté m l'événement contraire c'est-à-dire le lancer franc et raté c'est à dire non il ne réussit pas 100 lancers francs avec ses notations là en fait je vais essayer de traduire ce que nous dit l'énoncé il nous dit qu'il réussit sont lancés dans 70 % des cas autrement dit la probabilité de l'événement au je note comme sap et de haut et bien c'est 70% ce que je peux écrire aussi comme 0,7 en notation décimales alors il ya une autre chose qui ait pas dit c'est la probabilité de l'événement n la probabilité qu'il rate son lancer mais ça en fait c'est implicite puisque toute façon il y a que deux possibilités soit il réussi soit ils ratent donc ces deux événements là comme je l'aï dit tout à l'heure ils sont complémentaires c'est à dire que leur réunion représente 100 % des cas autrement dit la probabilité de l'événement au plus la probabilité de l'événement n doit être égal à 1 donc ici on en déduit que la probabilité de l'événement n et bien c'est 30% ou encore 0,3 en écriture décimales lorsqu'on nous demande c'est quelle est la probabilité qu'ils réussissent exactement deux lancers francs dans une série de six donc ça ça veut dire qu'il va faire silence et six lancers francs de suite et on nous demande la probabilité qui leur réussissent deux parmi ces six donc de lancer réussi deux lancers réussis pas remis 6 donc c'est ça qu'on nous demande alors je vais te montrer la solution de montrer comment je peux résoudre ce problème là mais ce qui serait pas mal c'est que dès que tu sens que tu peux poursuivre tout seul tu mets la vidéo sur pause et tu essaies de continuer de ton côté et ensuite tu pourra revenir sur la vidéo pour voir comment j'ai fait donc ce que je vais faire ici c'est regarder comment est-ce qu'il peut réussir deux lancers francs dans une série de six pour y ait une première possibilité c'est que ils réussissent le premier qu'il réussisse le deuxième est qu'ils ratent tous les autres alors j'ai noté comme ça donc s'il réussit les deux premiers ça veut dire que comme il ya six lancers en tout ils ratent les quatre derniers alors voilà ça c'est un cas possible pour réussir deux lancers francs dans une série de six et on peut calculer la probabilité de cet événement-là de réussir ça c'est l'événement du coup réussir les deux premiers lancers et raté les quatre suivants et la probabilité je peux la calculer puisque la probabilité de l'événement hausse et 0,7 la probabilité de l'événement nc 0.3 la probabilité de cet événement là c'est 0,7 fois 0.7 fois 0,3 x 0 3 x 0 3 fois encore une fois 0.3 en fait je fais le produit des probabilités de chaque événement ici alors ça je peux l'écrire un petit peu mieux c'est égal à 0,7 puissance 20.7 au carré x 0,3 puissance 4 alors ya une chose qu'on peut remarquer qu est assez intéressante c'est que on a ici la probabilité de l'événement il a réussi son lancer franc au quart et puisqu'on a représenté deux fois cet événement là et ici on à 0,3 élevé à la puissance 4 qui est la probabilité de raté un lancer franc quatre fois puisqu'on l'a 4 fois dense et dans ce cas là est ce qu'on peut remarquer c'est que la somme des deux exposants de +4 et bien ça donne le nombre total de l'an cette france qui est ici 6 alors voilà ça c'est une possibilité mais y en a bien d'autres beaucoup d'autres jeux pourrait par exemple imaginer que ils réussissent le premier qu'il rate le deuxième le troisième aussi qu'il réussisse le quatrième et puis qu'il rate les deux suivants je vais représenter cet événement là comme ça c'est l'événement le premier lancer et le quatrième lancers sont réussis tous les autres sont ratés alors là je peux calculer exactement comme tout à l'heure la probabilité de cet événement là je vais faire le produit des probabilités de ces événements donc ça me donne 0.7 pour le premier lancer qui réussit x 0 3 x 0 3 qu'ils représentent les probabilités des deux autres lancers francs qui sont ratés puis je multiplie par 07 puisque c'est la probabilité que le quatrième lancé soit réussi et ensuite je multiplie encore une fois par 0-3 puisque le cinquième l'an c est raté et ensuite par 0,3 encore pour le 6ème lancé alors ici ce que j'obtiens c'est exactement la même expression que tout à l'heure 0,7 au carré fois 0,3 puissance 4 ça se comprend puisque finalement la probabilité qu'on demande c'est qu'il réussisse deux lancers francs dans une série de six et on se fiche complètement de savoir s'il réussit le 1er et le 2e ou bien s'il réussit d'autres lancé dans la série de six autrement dit ce qu'on aimerait bien ici ses calculs et de combien de façon possible il peut réussir de lancer sur six chacune de ses possibilités aura une probabilité et gallas à 0,7 au carré fois 0.3 puissance 4 et donc si on arrive à calculer de combien de façon possible on peut réussir deux lancers francs dans une série de six suffira de multiplier cette probabilité la part le nombre de possibilités pour avoir la probabilité de qu'on cherche la probabilité de réussir deux lancers parmi 6 alors c'est en fait un problème de dénombrement il s'agit de choisir deux éléments parmi 6 donc c'est le nombre de combinaisons et on sait que ce nombre de combinaisons il est donnée de cette manière là c'est le choix de deux éléments parmi 6 donc c'est ce coefficient qu'on appelle un nombre de combinaisons et on peut le calculer de cette manière là alors si tu ne te souviens plus de comment est ce qu'on fait de ce que c'est que la définition de ces nombre de combinaisons je te conseille d'aller revoir les vidéos là dessus sur la khan academy en tout cas ces six factorielle 6 factorielle / 2 factorielle x 6 - 2 factorielle donc ici on peut réexaminer cette formule 6,6 factorielle 6 c'est le nombre de lancers francs au total de ici c'est le nombre de lancers francs réussis et puis 6 - 2 ça fait 4 c'est le nombre de lancers francs ratés 1 alors je vais calculer sa 6 factorielle ses 6 x 5 x 4 x 3 poids deux fois 1 et puis au dénominateur je vais avoir deux factorielle qui est 2 fois 1 et puis x 4 factorielle qui est donc 4 x 3 x 2 x 1c 4 factorielle parce que 6 - 2 ça fait 4 alors ici je peux simplifiée pas mal de choses en particulier ici je peux supprimer tout ça en haut et en bas et donc ça me donne finalement 6 x 5 sur 2 6 x 5 sur deux donc 30 sur deux c'est à dire 15 voilà autrement dit il ya quinze façon de réussir deux lancers francs dans une série de six et comme chacune de ses faces on a une probabilité égal à 0.7 au carré fois 0.3 puissance 4 ça c'est ce qu'on a vu tout à l'heure finalement la probabilité qu'on cherche c'est à dire la probabilité d'avoir deux lancers francs deux lancers francs réussi sur les 6 sur les six donc c'est exactement deux lancers francs réussis sur les 6 et bien c'est 15 fois la probabilité qui est calculée ici donc quinze fois 07 au carré fois 0,3 puissance 4 alors je vais calculé ça la calculatrice mais comme j'ai pas de calculatrice scientifique je vais simplifier un petit peu ça donc c'est 15 fois 0.7 au carré alors c'est aux caresses a fait 49 il faut que je décale la virgule de deux crans vers la gauche donc ça va me donner 0,49 et puis 0,3 puissance 4 alors trois puissances 4c 9 au carré donc ses 81 et là je dois décaler la virgule de quatre crans vers la gauche donc ça va me donner 000 81 alors maintenant je vais prendre la calculatrice et donc j'ai quinze fois 0,49 x 0,0080 1 et ça me donne 00 59 535 donc ça c'est égal à 0,0 59,7 1,05 cent 35 est ce que c'est bien ça 00 59 535 c'est ça alors on peut arrondir sa au centième par exemple donc ça sera environ 0 06 et ça en fait c'est 6% ça veut dire que il y a 6 % de chances qu'ils réussissent deux lancers francs dans une série de six exactement alors ça paraît peu mais finalement ça s'explique assez bien puisque comme c'est un assez bon joueur eh bien il ya plus de chances qu'ils réussissent plus de lancers francs dans une série 6 que seulement deux donc c'est assez logique que ce soit une faible probabilité qu'on retrouve ici voilà alors on verra dans les vidéos suivantes que ça c'est un cas particulier de ce qu'on appelle la loi binomiale