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Statistique et probabilités - Niveau 1
Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 9
Leçon 8: Compléments sur l'espérance mathématique- Assurance vie et probabilité de décès
- Bénéfices attendus d'un billet de loterie
- Espérance mathématique à la pêche
- Choix de l'assurance et espérance mathématique des coûts médicaux
- Espérance mathématique 2
- Établir une loi de probabilité et calculer l'espérance mathématique
- Calculer l'espérance mathématique avant de prendre une décision
- Loi des grands nombres
Bénéfices attendus d'un billet de loterie
On calcule le bénéfice espéré d'un billet de loterie en multipliant les valeurs prises du billet par leurs probabilités. Créé par Sal Khan.
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Transcription de la vidéo
Ahmed joue à une loterie
et doit choisir 2 nombres entre 0 et 9 puis une lettre parmi les 26 de l'alphabet.
Il peut choisir le même nombre 2 fois. Si son ticket correspond au tirage de 2
nombres et 1 lettre dans le bon ordre,
il gagne le gros lot et reçoit 10 405$. Si sa lettre est bonne mais pas au moins
1 des nombres, il reçoit 100$. Dans tout autre cas, il perd et ne reçoit rien.
Jouer lui coûte 5$. Il a choisi le ticket 04R, et paie donc
5$ pour jouer. Considérons la variable X, représentant
le bénéfice net d'un jeu à cette loterie. On va spécifier qu'on joue 04R.
Quelle est l'espérance de gain de ce jeu? Je vous encourage à mettre sur pause
et y réfléchir par vous-même. Prenons d'abord ce qu'est l'espérance. C'est la probabilité de chacune des
situations possibles multipliée par son gain net. Il y a donc la probabilité du gros lot
x le gain net du joueur. Quel est-il? Il reçoit 10405, mais son bénéfice net
est ce qu'il reçoit moins ce qu'il a payé
pour jouer. C'est donc 10405 moins 5$. Ensuite, il y a la probabilité d'obtenir un
petit lot, fois le bénéfice alors réalisé. Le gain est de 100$, mais moins les 5$
de droit à jouer, le bénéfice net est 95$. A cela, il faut ajouter la probabilité de
perdre. Dans ce cas, quel est le gain net
réalisé? C'est alors -5, car on paie 5$ sans rien
recevoir en échange. Donc pour obtenir l'espérance de gain à
cette loterie, il faut trouver ces
probabilités. Quelle est la probabilité du gros lot? La probabilité de trouver le 1er nombre
est 1/10. Pareil pour le 2ème, car les tirages sont indépendants.
Pour la lettre, comme il y a 26 lettres aussi probables les unes que les autres,
on a 1 chance sur 26 d'avoir la bonne. La probabilité d'obtenir le gros lot est
donc 1 sur 2600. Maintenant, quelle est la probabilité du
petit lot? On a alors la bonne lettre, mais pas un des deux nombres. On a donc
1 chance sur 26 pour la lettre, mais ça ne suffit pas, puisqu'on inclue tous les scénarios
où il a la bonne lettre et les bons chiffres Il faut donc y soustraire la probabilité
d'avoir la bonne lettre et les bons nombres, ce qu'on connait: c'est la probabilité du
gros lot. On a donc 1/26 moins 1/2600. Pourquoi soustraire 1/2600? Parce que
1/26 inclue la possibilité d'avoir tout juste qui a déjà été comptée avant. A présent, quelle est la probabilité de
perdre? C'est en fait tout le reste! Donc 1 moins
chacune des probabilités précédentes. Donc 1 moins probabilité du petit lot
moins la probabilité du gros lot. Logiquement, leur somme est égale à 1. En remplaçant dans l'équation avec les
probabilités trouvées: là, c'est 1/2600, puis (1/26 - 1/2600), et
finalement 1-1/2600-(1/26 - 1/2600). En simplifiant, ce dernier fait 1-1/26.
Est-ce que ça a du sens? Oui, car perdre veut dire avoir la mauvaise lettre, ce
pour quoi on a 25 chances sur 26. Sortons nos calculatrices, l'espérance
de gain net est égale à: 1/2600 <i> 10 400 + (1/26-1/2600) </i> 95
+ 25/26 * (-5) = 2, 81$, en arrondissant. C'est en réalité une loterie très
inhabituelle, où l'espérance de gain net pour un joueur est positive. En général,
ce sont les organisateurs (Etat, casino,..) qui ont une espérance de gain positive.
Le joueur est censé perdre. Avec cette loterie, jouer est rationnel, ce
qui en général n'est pas le cas. Mais ici en jouant, je peux en fait
m'attendre à un bénéfice de 2,81$.