Loi des grands nombres

dans cette vidéo on va parler de ce qu'on appelle la loi des grands nombres la loi des grands nombres alors c'est une loi qui est extrêmement utilisé en probabilité c'est peut-être la loi la plus intuitive aussi et du coup comme elle est utilisée vraiment dans très nombreux situation et qu'elle est très intuitive elle est parfois utilisé pas très bon escient et les souvent pas très bien comprise donc là on va on va en parler un petit peu alors je vais commencer par parler non c'est un vent de comme ça ça fixera un petit peu aussi un certain langage et quelques notations alors on va prendre une variable aléatoire grand x et on va dire qu'on connaît son espérance mathématiques donc on connaît le nombre de grandes x donc on connaît en fait la moyenne notre façon de voir c'est de dire qu'on connaît la moyenne sur la population de notre variable x alors ce que dit la loi des grands nombres c'est que si on prend un échantillon de cette variable aléatoire c'est à dire que on va répéter l'expérience plusieurs fois donc on va prendre un échantillon par exemple de taille n donc on va avoir l occurrence de cette variable donc on va les notés comme ça on va avoir la première fois qu'on va faire cette expérience aléatoire on va obtenir x1 comme valeur de la variable la deuxième fois on va obtenir x2 la troisième fois on va obtenir un x3 donc ça ce sont à chaque fois des valeurs possibles de la variable aléatoire x et donc on répète cette expérience est une fois et on obtient ses valeurs ses valeurs là alors ce qu'on va faire c'est qu'on va définir une nouvelle variable à partir de cet échantillon et qui va être tout simplement la moyenne de l'échantillon donc cette variable on va l'appeler comme ça x n barre donc c'est la moyenne de l'échantillon donc c'est tout simplement la somme des valeurs de l'échantillon donc x1 +62 +63 plus ainsi de suite jusqu'à x n voilà et puis comme on prend la moyenne on divise sa part le nombre de total de valeur donc par la taille de l'échantillon qui est n alors ce que nous dit la loi des grands nombres c'est que xn cette variable la laïque scène bar va tendre vers la moyenne la population dans vers l'espérance mathématique de la variable x quand quand le nombre n tend vers l'infini vers plus l'infini voilà donc on peut voir ça aussi comme ça la variable xn bar tend vers la moyenne de la population quand x quand n pardon envers vers plus infinie donc voilà c'est ça c'est l'énoncé formelle de la loi des grands nombres en fait tout simplement ça veut dire que si je prends un échantillon dont la taille très très très élevé qui tend vers l'infini et bien la moyenne de cet échantillon va converger vers la moyenne de la population vers la moyenne réelle donc c'est exactement ça donc on a pris ça c'est un échantillon succès pas toutes les valeurs possibles de la variable c'est simplement un échantillon est donc intuitivement je vais pas rentrer dans le détail je vais pas formalisé ce qu'on entend par xl à la moyenne xn de l'échantillon tend vers la moyenne de la population quand end en verre plus l'infini bon ça on verra il ya d'autres vidéos là dessus mais 28 tivement c'est ça hein c'est plus on prend un échantillon de tags de taille élevée plus on répète cette expérience en fait plus la moyenne de notre échantillon va tendre va s'approcher de la moyenne de la population ici alors bon c'est assez simple à l'énoncé est assez simple maintenant le pourquoi pourquoi c'est comme ça c'est pas toujours très bien compris donc on va creuser un petit peu ça alors je vais commencer par prendre un exemple je vais prendre un exemple alors je vais le faire ici on va prendre une variable aléatoire grand x qui va être le nombre de faces obtenu nombre de faces obtenu en sang lançaient d'une pièce en ce sens lancés d'une pièce non truquées un d'une pièce non truquée voilà alors déjà ce qu'on peut faire c'est calculé assez facilement en l'espérance de notre variable x donc ça c'est 100 fois la probabilité d'avoir un succès donc d'avoir obtenu face donc c'est cent fois un demi ce qu'il ya une chance sur deux à chaque lancer d'avoir face et on répète sans foi se lancer de manière indépendante donc l'espérance mathématique c'est cent fois un demi c'est à dire 50 voilà alors maintenant on va se mettre dans la loi dans le cadre de la loi des grands nombres donc on va prendre un échantillon de notre variables aléatoires sont qu'on va répéter notre expérience plusieurs fois de suite alors pour faire ça on peut imaginer par exemple que on met 100 pièces de monnaie non truquées dans une boîte on secoue la boîte et on compte le nombre de foot de face qui a eu dans la boîte ensuite on recommence donc on remue la boîte et on recompte encore le nombre de faces ont fait ça un certain nombre de fois disons petit n fois et on va calculer maintenant la variable la moyenne de notre échantillon donc c'est cette variable à qu'on avait appelé xm barre alors disons que la première fois qu'on a secoué la boîte et qu'on a compté nombre de façons n'a eu 55 55 x face donc ça c'est notre x1 ensuite on recommence expériences ont reçu ce coup on recompte le nombre de fois où on a eu face et là on trouve par exemple 65 ça c'est notre x2 ensuite on recommence encore une fois et on trouve cette fois-ci 45 45 x face donc ça c'est le terme qu'on pourrait appeler x3 et puis on continue cette expérience on renouvelle cette expérience plusieurs fois de suite une fois de suite donc on obtient par exemple le dernier on va l'appeler xn ça c'est donc il ya eu x l x face quand on a arrêté là la énième fois où on a répété cette expérience alors pour calculer la moyenne comme on a fait n n fois l'expérience maïs i am terme donc on doit / n alors ce que va nous dire la loi des grands nombres c'est que la moyenne de notre échantillon xn barre elle va tendre vers 50 vers la moyenne de la population donc vers l'espérance mathématique de la variable x qui est ici 50 quand n tend vers plus l'infini voilà donc plus on répète cette expérience plus notre moyenne de l'échantillon va s'approcher de la valeur 52 qu'est l'espérance mathématique de l'avarié voilà alors il ya une erreur qui est très courante nomme mauvaise interprétation de cette loi des grands nombres c'est que si par exemple c'est une erreur très courante parmi les chez les joueurs par exemple un joueur qui se dit bon ben sylla dans les dix premières fois que j'ai fait cette expérience j'ai obtenu moins de cinquante fois face ça veut dire que j'ai des chances que dans les normes dans les essais successifs je vais obtenir plus de foi face alors ça c'est pas c'est pas exactement ce qui se passe on va le voir là pour pour le voir je vais faire un graphique alors prendre un peu de place donc je vais être assez un graphique en abscisse ici je vais mettre le nombre d'échantillons et puis en ordonnée je vais mettre la moyenne de l'échantillon donc ici c'est le petit n la taille de l'échantillon est ici c'est la moyenne xn barre puisque je vais faire aussi s'est matérialisé la moyenne de la population qui est donc 50 je vais la matérialiser par une droite horizontale donc ça c'est la moyenne de la population alors maintenant quand je fais l'expérience la première fois donc j ai petite haine qui est égal à 1 puisque j'ai eu un échantillon en fait de taille 1 alors là là mon x 1 ça va être la moyenne puisque j'ai qu'une seule valeur donc cette valeur c'est la moyenne de l'échantillon et elle vaut 55 donc je peux placer par exemple ici la moyenne de mon premier échantillon et ensuite quand je répète l'expérience donc je fais je prends du coup un échantillon de taille deux bergers obtenu il 55 la première fois 65 la deuxième fois donc la moyenne de l'échantillon bête ça va être 55 + 65 divisée par deux alors 55 + 65 ça fait soixante +60 ça fait 120 donc quand je divise par deux ça fait soixante donc la moyenne de l'échantillon ici c'est 60 je vais la place est ici voilà ça c'est la moyenne de mon échantillon de taille 2 maintenant je vais pouvoir placer aussi la moyenne de l'échantillon de taille 3 que j'ai prélevé donc ses 55 + 65 plus 45 alors 55 + 65 ans a dit que ça faisait 120 +45 ça va faire 165 alors 165 / 3 je vais le faire avec la calculatrice 165 divisée par 3 ça fait 55 donc là j'ai de nouveau une moyenne de l'échantillon qui est de 55 alors voilà quand on regarde ce qui se passe ici le un joueur par exemple va se dire de là j'ai eu des échantillons dont la moyenne a été toujours supérieur à la moyenne de la population donc ça veut dire que plus tard quand je vais faire mes échecs successifs je vais avoir des moyennes inférieures pour une certaine manière équilibrée et avoir en fait une moyenne globale qui va s'approcher des 50 c'est ça pour d'une certaine manière rétablir l'équilibré vérifier cette loi des grands nombres en fait c'est pas du tout c'est pas du tout vrai parce qu'en fait ce qui se passe c'est que quand on réfléchit de cette manière là on oublie que on parle d'une valeur de haine qui va tendre vers plus l'infini ça veut dire que en fait on a fait un certain nombre un nombre fini décès mais nous nous en reste un nombre infini nous reste un nombre infini des c'est donc par exemple si on a pendant un certains nombre de décès une moyenne qui a été toujours supérieur à 50 donc si on a fait un graphique par exemple comme ça on se trouve ici au bout d'un certain nombre d'essais et là la tendance est de se dire bon bain à partir de là comme on à être toujours été au-dessus de la moue de la valeur moyenne de la population de l'espérance mathématique de la variable x et que là on en est vraiment très éloignées et ben là il va falloir rectifier le tir et donc ça veut dire qu'on va avoir des valeurs très faible on va voir très très peu souvent face dans les prochains essais et c'est pas du tout vrai parce qu'en fait ce que nous dit la boad la loi des grands nombres c'est que on s'en fiche en fait de savoir combien il ya eu décès ici un ca c'est pas très important la ja n essaie on va dire mais ce qui nous reste là ici c'est une infinité d c'est ici donc là il ya une infinité décès encore et quand on va faire tous ces essais la moyenne de ces essais là va être à converger vers 50 donc ce qui est très important ici c'est de comprendre que même si on a eu une valeur très élevée ici une moyenne très élevé ici dans les nombres dans un nombre fini décès antérieur et ben finalement comme il nous reste une 9 inite et de décès pour lesquels la moyenne va converger d'une certaine manière on va ça va nous ramener je vais le faire d'une autre couleur ça va nous ramener à nous faire re convergé vers la moyenne de la population donc voilà ça c'est une manière très informelle un devoir cette loi des grands nombres mais c'est vraiment très important parce que ça montre bien que c'est pas du tout c'est pas c'est pas parce qu'on a eu plein de fois face un certain moment que du coup on devrait avoir plein de fois pile dans l'est dans les expériences qui suivent en fait ce que dit vraiment la loi des grands nombres c'est que on s'en fiche de savoir ce qui s'est passé pendant un nombre fini deux fois puisqu'il reste un nombre infini de décès qui suivent et si on réalise effectivement un nombre suffisant de ces essais en nombre infini qui nous reste à faire eh bien on va converger de plus en plus vers la moyenne de la population vers la l'espérance mathématique alors ça c'est quelque chose que les loteries et les casinos très bien compris hein c'est pas parce que effectivement quand on joue à un jeu il se peut très bien que quand on fait un certain nombre contient un certain nombre de personnes qui jouent un qui joue à ce jeu eh bien il peut très bien y avoir effectivement quelqu'un qui remporte le gros lot mais mais à long terme très long terme grâce à cette loi des grands nombres la maison et c'est sûr d'être gagnante finalement puisque la moyenne des joueurs des jeux qui ont été pratiqués va va s'approche va converger vers l'espérance mathématique donc vers les paramètres du jeu qui a été choisi par par le casino ou par la loterie donc à long terme la maison est forcément gagnante donc voila c'était une manière peut-être un peu enfin le formalisme être un peu gênant pour certains mais c'est vraiment très intuitif ce que dit la loi des grands nombres c'est que plus on prend un échantillon de taille élevée plus la moyenne de cet échantillon va converger vers la moyenne de la population la moyenne réelle de la population