Bénéfices attendus d'un billet de loterie

Ahmed joue à une loterie et doit choisir 2 nombres entre 0 et 9 puis une lettre parmi les 26 de l'alphabet. Il peut choisir le même nombre 2 fois. Si son ticket correspond au tirage de 2 nombres et 1 lettre dans le bon ordre, il gagne le gros lot et reçoit 10 405$. Si sa lettre est bonne mais pas au moins 1 des nombres, il reçoit 100$. Dans tout autre cas, il perd et ne reçoit rien. Jouer lui coûte 5$. Il a choisi le ticket 04R, et paie donc 5$ pour jouer. Considérons la variable X, représentant le bénéfice net d'un jeu à cette loterie. On va spécifier qu'on joue 04R. Quelle est l'espérance de gain de ce jeu? Je vous encourage à mettre sur pause et y réfléchir par vous-même. Prenons d'abord ce qu'est l'espérance. C'est la probabilité de chacune des situations possibles multipliée par son gain net. Il y a donc la probabilité du gros lot x le gain net du joueur. Quel est-il? Il reçoit 10405, mais son bénéfice net est ce qu'il reçoit moins ce qu'il a payé pour jouer. C'est donc 10405 moins 5$. Ensuite, il y a la probabilité d'obtenir un petit lot, fois le bénéfice alors réalisé. Le gain est de 100$, mais moins les 5$ de droit à jouer, le bénéfice net est 95$. A cela, il faut ajouter la probabilité de perdre. Dans ce cas, quel est le gain net réalisé? C'est alors -5, car on paie 5$ sans rien recevoir en échange. Donc pour obtenir l'espérance de gain à cette loterie, il faut trouver ces probabilités. Quelle est la probabilité du gros lot? La probabilité de trouver le 1er nombre est 1/10. Pareil pour le 2ème, car les tirages sont indépendants. Pour la lettre, comme il y a 26 lettres aussi probables les unes que les autres, on a 1 chance sur 26 d'avoir la bonne. La probabilité d'obtenir le gros lot est donc 1 sur 2600. Maintenant, quelle est la probabilité du petit lot? On a alors la bonne lettre, mais pas un des deux nombres. On a donc 1 chance sur 26 pour la lettre, mais ça ne suffit pas, puisqu'on inclue tous les scénarios où il a la bonne lettre et les bons chiffres Il faut donc y soustraire la probabilité d'avoir la bonne lettre et les bons nombres, ce qu'on connait: c'est la probabilité du gros lot. On a donc 1/26 moins 1/2600. Pourquoi soustraire 1/2600? Parce que 1/26 inclue la possibilité d'avoir tout juste qui a déjà été comptée avant. A présent, quelle est la probabilité de perdre? C'est en fait tout le reste! Donc 1 moins chacune des probabilités précédentes. Donc 1 moins probabilité du petit lot moins la probabilité du gros lot. Logiquement, leur somme est égale à 1. En remplaçant dans l'équation avec les probabilités trouvées: là, c'est 1/2600, puis (1/26 - 1/2600), et finalement 1-1/2600-(1/26 - 1/2600). En simplifiant, ce dernier fait 1-1/26. Est-ce que ça a du sens? Oui, car perdre veut dire avoir la mauvaise lettre, ce pour quoi on a 25 chances sur 26. Sortons nos calculatrices, l'espérance de gain net est égale à: 1/2600 <i> 10 400 + (1/26-1/2600) </i> 95 + 25/26 * (-5) = 2, 81$, en arrondissant. C'est en réalité une loterie très inhabituelle, où l'espérance de gain net pour un joueur est positive. En général, ce sont les organisateurs (Etat, casino,..) qui ont une espérance de gain positive. Le joueur est censé perdre. Avec cette loterie, jouer est rationnel, ce qui en général n'est pas le cas. Mais ici en jouant, je peux en fait m'attendre à un bénéfice de 2,81$.