Loi de Poisson (1 sur 2)

on va se mettre dans la peau d'un d'un ingénieur de la circulation on va par exemple se mettre à un endroit donné étudier le nombre de voitures qui passent dans un intervalle de temps donné alors bon la meilleure façon de faire pour ça c'est de commencer par définir une variable aléatoire la toile x qui va être donc le nombre de voitures le nombre de voitures ou de véhicules qui passent qui passent à cet endroit par exemple dans une heure donnée 1 en une heure donc le but ça va être de déterminer la loi de probabilité de cette variable x puisque une fois qu'on aura déterminé sa loi de probabilité on pourra calculer la probabilité de n'importe quelle valeur de cette variable alors bon pour continuer il va falloir qu'on fasse deux suppositions qui sont un peu simplificatrice mais qui vont être utiles alors la première de ces suppositions c'est que à cet endroit là de là où on s'est placé elle une heure n'est pas différente d'une autre c'est à dire que on va avoir exactement la même probabilité d'une certaine valeur à une heure donnée en une heure donnée quand une autre heure donnée alors évidemment on ça c'est pas tout à fait la réalité puisque dans la réalité il ya des heures de pointe il ya des heures de peu de trafic donc les heures sont pas tout à fait les mêmes mais on va quand même faire cette supposition là c'est à dire que finalement on va travailler sur des endroits où la circulation à peu près la même tout le temps ou alors on peut supprimer les heures de pointe par exemple et puis on va supposer aussi que à l'intérieur de cette période de temps qu'on va étudier toutes les secondes sont équivalentes c'est à dire qu'il n'ya pas un moment de cette heure là où il y aura où on est censé avoir plus de voitures que un autre alors la deuxième suppositions qu'on va faire c'est que si à tout d'un coup un très grand nombre de voitures qui passent un moment donné ça veut pas dire que l'instant d'après il va y avoir moins de voitures qui va passer a lancé chaque instant est complètement indépendant des autres voilà alors la première chose qu'on peut faire ça je t'engage à le faire dans n'importe quel type de distribution s'est essayé de calculer la moyenne enfin essayer de trouver une estimation de la moyenne donc ici comme si une variable une variable aléatoire on va essayer de trouver l'estiment une estimation de l'espérance mathématique de la variable x alors pour faire sa ba on peut tout simplement s'asseoir à l'endroit données et puis mesurer le nombre de voitures qui sont passés en 1h faire ça sur plusieurs heures ensuite additionnés toutes les données qu'on a trouvé tous les nombres de voitures qu'on a eu et divisé par le nombre d'heures et on aura une estimation de la moyenne plus évidemment plus on fait de mesures sur sur plusieurs intervalles d'une heure plus on aura une estimation proche de la vraie espérance mathématiques de x mais bon on va supposer que on l'a fait suffisamment et du coup on a une espérance mathématiques de notre variable qui si je vais alors d'habitude on utilise la lettre grecque mu mais ici je vais utiliser la lettre grecque lambda parce que on va voir que c'est en fait c'est un paramètre de la loi de poissons qu'on va finalement débusquer ici alors voilà ça c'est simplement une estimation de l'espérance mathématique de la variable x qu'on a établi par le cas par par la mesure donc si on s'est assis par exemple pendant senteurs de suite on a obtenu sans nombre de voitures on a fait leur moyenne et on a obtenu par exemple disons 9,3 et donc on pourra dire que en moyenne il ya 9,3 voitures qui passent en une heure à cet endroit là de la route voilà alors ce qu'on va faire maintenant c'est d'essayer de se rapporter une loi binomiale qu'on connaît un pour ça on sait que déjà si ici on a une variable vix qui est binomiale son espérance mathématiques elle va s'exprimer de cette manière là ça va être n x p on se rappelle du lancer d'une pièce de monnaie de plusieurs fois de suite n c'est le nombre de lancers donc c'est le nombre d'essais qu'on fait et pc la probabilité du succès donc par exemple le succès ça peut être obtenir face quand on lance une pièce de monnaie un voilà donc ça c'est l'expression de l'espérance mathématique d'une variable x qui suit une loi binomiale avec haine et c est une probabilité de succès p1 alors pourquoi est ce que je fais ça ici bien tout simplement parce que si je regarde que représente ici ce lambda c'est le nombre de voitures qui passent en une heure donc ça je vais l'écrire ici on a lambda voiture lambda voitures par heure voilà alors se peut diviser mon heure en 60 minutes donc je peux écrire que c'est il ya soixante minutes par heure et puis je peux multiplier sa part lambda sur 60 lambda sur 60 qui va être le nombre de voitures du coût par minute par minute voilà alors là ce que j'ai ici c'est que j'ai exprimé mon mon nombre de voitures par heure en un produit 2,2 terme ici c'est ce que je peux appeler n donc ça cnc le nombre d'essai et ça c'est la probabilité d'un succès c'est à dire la probabilité qu'une voiture passe dans la minute voilà alors là effectivement j'ai un modèle binomiale qui est certainement pas un très mauvais modèle c'est plutôt un modèle pas mal et dans ce cas là on pourrait calculer la probabilité que par exemple trois voitures soient passés en dans leur que je considère ou alors plus en général je pourrais calculer la probabilité que cas voiture soit passé c'est-à-dire la probabilité que la variable x ou est égal à k et bien dans ce cas là on pourrait la calculer avec la loi binomiale un donc ça serait le nombre de combinaisons de cas éléments parmi 60 puisqu'on à 60 et ses x la probabilité d'un succès c'est-à-dire lambda sur 60 ça c'est la première la probabilité qu'une voiture passe dans la minute donc ça c'est là je dois lui l'élever à la puissance cas puisque j'ai quinze succès x la probabilité qu aucune voiture ne passe dans sept minutes là donc c'est un moins lambda sur 60 puissance ici 60 - k 60 - cas puisque j'ai 60 et ces cas sont réussis et 60 - caso raté voilà donc si j'avais vraiment une loi binomiale je pourrais calculer la probabilité que la variable prennent une valeur cas de cette manière là et ce serait probablement une assez bonne modélisation mais il ya quand même un problème vraiment majeur ici c'est que on a su poser en fait qu' il n'y a qu'une voiture qui passe par minute c'est comme ça qu'on a défini notre probabilité de succès paix s'est il ya une voiture qui passe pas par minutes or il se peut très bien que plusieurs voitures passent dans une minute donc ça c'est un problème central ici qu'il faut arriver à résoudre en fait je pense que tu vois un peu ce qui se passe ce qu'il faut faire c'est réduire encore l'intervalle de temps ici on est passé on a découpé notre heure en minute en espérant que une seule voiture puisse au maximum passé par minute comme c'est pas vrai il peut y avoir plusieurs voitures qui passent dans une minute eh bien on va découper sa encore et on va découper ça en seconde donc là on peut réécrire cette probabilité là mais en supposant que notre intervalle de temps et des termes est divisé en seconde donc on va avoir la probabilité que x soit égal à cas ça va être du coup le nombre de permutations de cas éléments parmi non pas 60 puisque ça c'était des minutes là on va prendre 3600 secondes 3600 secondes c'est ce qui constitue une heure x la probabilité qu'une voiture passe en une seconde donc ça c'est le nombre de moyens de voitures par heure / 3601 donc lambda / 3600 puissance cas puisqu'il ya quatre succès donc ça ici c'est la probabilité d'un succès 1 là je considère cette fois ci que on a un succès si une voiture passe dans une seconde lambda / 3600 ensuite je dois a multiplié sa part la probabilité de n'avoir aucune voiture qui passe en sept secondes là donc c'est un - la probabilité de réussir donc 1 - lambda sur 3600 le taux élevé à la puissance 3600 - cas puisque cette fois ci j'ai fait 3600 et c'est ce que je fais un essai par seconde et j'en ai réussi qu'à erat et 3600 - k voilà donc la jauge obtient une expression différente de la probabilité de la valeur k que ma variable aléatoire prennent la valeur cas qui est celle ci et qui est plus proche de la réalité puisque là je me suis rapproché de quelque chose de plus réel c'est à dire que j'ai découpé plus finement mon intervalles pour que finalement j'ai de moins en moins de chances qu'ils aient plusieurs voitures qui passent dans une interview dans un élément de base de mon intervalle donc ici dans une seconde donc c'est une approximation qui est meilleure que celle d'avant mais quand même j'ai toujours ce problème là toujours le même c'est à dire que ici j'ai considéré que j'avais un succès quand une voiture passe et dans une seconde mais il se peut très bien que deux voitures passent à un intervalle de une demi-seconde l'une de l'autre donc on a toujours le même problème on a quand même réussi à le diminuer mais ce problème est toujours le même et là je pense que tu vois un peu ce qu'il faut faire en fait ce qu'il faut faire c'est redit viser encore notre intervalle de temps augmenter encore ce nombre là pour se rapprocher d'une d'une situation plus réel donc redit viser encore notre intervalle de temps le plus possible jusqu'à ce que ce soit plus envisageable que deux voitures passent dans notre unité de temps qui constitue notre intervalles alors effectivement l'intuition c'est celle là c'est la bonne et quand on fait ça ce qu'on obtient finalement c'est ce qu'on appelle une loi de poisson alors le plus souvent ce qu'on fait avec cette loi de poisson c'est qu'on en donne l'expression la formule et puis après on l'appliquent avec les données de la série qu'on utilise là il ya quelque chose de vraiment intéressant parce que ce qu'on a fait ça montre que quand fait la loi de poisson c'est un cas limite un peu d'une loi binomiale donc on va on va préciser un petit peu tout ça peut-être qu'on n'aura pas le temps de finir tout dans cette vidéo là mais on va continuer ce qu'on a fait c'est à dire que on va imaginer qu'on passe à la limite en divisant à l'infini le l'intervalle d'une heure qui nous est donné donc avant de continuer ce qu'il faut c'est être sûr d'avoir un certain nombre d'outils à disposition pour pouvoir exprimer ce qui se passe quand on fait tendre ce nombre là vers l'infini donc quand on sait ce nombre là qu'on va faire tendre vers l'infini on va prendre la limite quand ce nombre-là tend vers l'infini c'est à dire quand on va diviser à l'infini notre intervalle d'une heure alors bon la première chose qu'il faut connaître ses je pense que ça tu l'as déjà vu plusieurs fois mais bon pour en être sûr on va faire ça alors la première chose c'est que la limite quand x tend vers plus l'infini de cette expression là un plus ha sur x puissance x et bien ça c'est eux puissance à eux élevés à la puissance a alors pour se convaincre de ça on va faire un petit changement de variables on va prendre une variable haine qu'ils vérifient sahin sur nc assure x donc x cn fois à et du coup quand x tend vers plus l'infini quand x tend vers plus l'infini et bien no6 tend vers plus l'infini voilà et donc on peut écrire que la limite quand x tend vers plus l'infini de cette expression là c'est un plus assure x puissance x eh bien ça va être la limite quand n d'anvers plus l'infini 2 1 + alors assure xc 1 sur rennes donc 1 + 1 sur rennes le tout est élevé à la puissance x qui est nana10 lors ça je vais pouvoir l'exprimer autrement puisque en fait ici 1 plus 1 sur rennes élevé à la puissance n h peut écrire comme ça donc de jouer tout réécrire limite donc ça c'est égal à la limite quand on tend vers plus l'infini 2 alors je vais faire ça comme ça c'est un plus un suresnes puissance n le tout est levée à la puissance ah voilà alors élevées à la puissance à ça dépend pas de haine donc je peux aussi écrire ça comme ça c'est la limite quand n d'anvers plus l'infini 2 1 + 1 sur aisne élevé à la puissance à alors c'est là où il faut connaître un résultat important d' analyse c'est que la limite quand même temps vers plus l'infini de un plus alors là j'ai oublié c'est un plus un suresnes puissance n 1 ici donc cette limite là qui est à l'intérieur des crochets et bien ça c'est tout simplement le nombreux donc ça la cee et donc finalement on n'obtient que cette limite la cee puissance ah voilà donc ça c'était là le premier outil dont on va avoir besoin pour dead pour déterminer la formule de la loi de poissons alors là de le deuxième outil dont on va avoir besoin ça concerne les factorielle et ça on l'a vu plusieurs fois dans la section sur les loi binomiale sur la loi binomiale mais on va le refaire ici alors c'est tout simplement le fait que quand on calcule x factorielle sur x muaka factorielle et bien ça donne x x x - 1 x x moins deux fois jusqu'à le dernier terme cx - cac +1 voilà ça c'est de sel la dernière chose qui va nous être utile alors là il ya qu'à terme ça c'est le premier terme ça c'est le deuxième ça c'est le troisième quatrième cinquième et ça c'est le cayenne terme cayenne voilà par exemple si on fait cette factorielle sûr si on calcule sa 7 po factorielle sur sept - 2 factorielle et bien alors cette factorielle c'est cette fois 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1,7 produisent tous les entiers qui sont inférieures à 7 inférieurs ou égaux à 7 / 7 -2 factorielle sept mois de ça fait 5 donc par 5 factorielle ça la c5 donc 5 factorielle c'est cinq fois quatre fois trois fois deux fois et là on voit tout simplement que toute cette partie là se simplifient avec celle ci donc ici on a finalement cette fois 6 cette fois ci ce effectivement non mais si on avait x qui était la fête est qu à égal à 2 est donc le dernier terme c'est 7 -2 +17 -2 savez 5 + 1 ça fait 6 qui est bien celui ci voilà donc ça c'est le deuxième outil dont on va avoir besoin est en fête avec ces deux outils là de la limite que j'ai qu'on a déterminé tout à l'heure cette limite si et cette expression d factorielle eh bien on va pouvoir déterminer l'expression de la loi de poissons et c'est ce qu'on va faire dans la prochaine vidéo à bientôt