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Statistique et probabilités - Niveau 1
Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 3
Leçon 4: Variance et écart-type d'une population- Caractéristiques de dispersion : étendue, variance et écart-type
- Variance de la population
- Écart-type de la population
- Dispersion d'une série et écart-type
- Le calcul pas à pas de l'écart-type
- Écart-type d'une série statistique
- Moyenne et écart-type versus médiane et écart interquartile
- L'écart-type... encore
- D'autres formules de la variance
Le calcul pas à pas de l'écart-type
Introduction
Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer l'écart-type « à la main ».
Dans la pratique, aucun statisticien ne calcule l'écart-type à la main. Les calculs impliqués sont quelque peu complexes, et le risque de se tromper est grand. Le calcul à la main est long. Très long. C'est pourquoi les statisticiens utilisent un tableur ou un logiciel pour faire les calculs.
Alors, pourquoi cette leçon ? Pourquoi apprendre un calcul à la main que les statisticiens ne font pas ? Parce qu'apprendre à faire des calculs à la main permet de mieux comprendre comment interpréter l'écart-type. Au lieu de considérer l'écart-type comme un nombre magique surgi d'un tableur ou d'un logiciel, nous serons en mesure d'expliquer ce nombre.
Comment calculer l'écart-type
La formule de l'écart-type est
où sum signifie "somme de", x, start subscript, i, end subscript désigne une valeur de la série statistique, mu sa moyenne arithmétique et n son effectif.
Pour calculer l'écart-type, on procède ainsi :
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la série.
2 - On calcule le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série.
3 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4 - On divise par l'effectif de la série.
5 - On calcule la racine carrée du résultat.
Remarque
La formule concerne le calcul de l’écart type d’une population. Si on veut calculer l'écart-type d'un échantillon, il faut diviser par n, minus, 1 et non par n, n étant l'effectif de l'échantillon.
Le calcul étape par étape de l'écart-type : exemple
Prenons par exemple la série statistique suivante dont l'effectif est de petite taille :
1 - On calcule start color #e07d10, mu, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root
mu est la moyenne arithmétique de la série.
2 - On calcule les valeurs de start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, 4, end fraction, end square root
Il s'agit de calculer le carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne.
Par exemple, la première valeur de la série est 6 et la moyenne est 3, donc la valeur absolue de leur écart est 3. Son carré est 9.
3 - On calcule start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10 dans square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, 4, end fraction, end square root
Le symbole sum signifie "somme", on calcule donc la somme des quatre valeurs obtenues à l'étape 2.
4 - On calcule start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end color #e07d10 dans square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end color #e07d10, end square root
On divise le résultat obtenu à l'étape 3 par l'effectif de la série, N.
5 - On calcule l'écart-type square root of, start fraction, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, open vertical bar, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, 4, end fraction, end square root
C'est presque terminé ! Il faut maintenant calculer la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 4.
Nous avons calculé l'écart-type d'une série de petite taille.
Résumé de ce que nous avons fait
Nous avons calculé l'écart-type en 5 étapes :
1 - calcul de la moyenne mu.
2 - Calcul du carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
x | open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared | |
---|---|---|
6 | open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9 | |
2 | open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1 | |
3 | open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0 | |
1 | open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4 |
Étapes 3, 4 et 5:
À vous
Rappel de la formule :
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
- Ne devons-nous pas diviser par n-1 à la place de n ?(1 vote)
- Non, la division par
(n-1)
est pour un échantillon, c'est à dire une partie de la population totale. Ici, nous avons toutes les valeurs, donc on divise parn
.(3 votes)
- Comment calculer l equart type avec les intervales(2 votes)
- Bonjour,
Pourquoi calcule-t-on "le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série" pour devoir au final réduire l'ensemble du calcul par une racine carrée. Ça m'aurait intuitivement semblé cohérent (de manière très floue) si on avait aussi élevé n au carré ; mais ce n'est pas le cas. Pourquoi ?
Merci(2 votes) - Bonjour.
J'ai besoin de calculer la moyenne de la moyenne et l'écart type des écarts types d'un échantillon de 15 personnes. Chaque personne a effectué une marche normale sur tapis et nous avons mesuré la longueur de pas pendant quelques minutes. Chaque personne des 15 participants a une moyenne et un écart type de sa longueur de pas. J'ai besoin de calculer la moyenne de tous les longueurs de pas de tous les participants ainsi que l'écart type de tous les écarts types des 15 participants. Comment je peux faire ceci, svp ? Merci de votre aide !(1 vote) - lorsque on obtient un résultat de l ecart type quelle est l interprétation que l on peut dire et merci d avance(1 vote)