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Contenu principal

Le calcul pas à pas de l'écart-type

Introduction

Dans cette leçon, nous allons apprendre à calculer l'écart-type « à la main ».
Dans la pratique, aucun statisticien ne calcule l'écart-type à la main. Les calculs impliqués sont quelque peu complexes, et le risque de se tromper est grand. Le calcul à la main est long. Très long. C'est pourquoi les statisticiens utilisent un tableur ou un logiciel pour faire les calculs.
Alors, pourquoi cette leçon ? Pourquoi apprendre un calcul à la main que les statisticiens ne font pas ? Parce qu'apprendre à faire des calculs à la main permet de mieux comprendre comment interpréter l'écart-type. Au lieu de considérer l'écart-type comme un nombre magique surgi d'un tableur ou d'un logiciel, nous serons en mesure d'expliquer ce nombre.

Comment calculer l'écart-type

La formule de l'écart-type est
σ=i=1n|xiμ|2n
signifie "somme de", xi désigne une valeur de la série statistique, μ sa moyenne arithmétique et n son effectif.
Pour calculer l'écart-type, on procède ainsi :
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la série.
2 - On calcule le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série.
3 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4 - On divise par l'effectif de la série.
5 - On calcule la racine carrée du résultat.

Remarque

La formule concerne le calcul de l’écart type d’une population. Si on veut calculer l'écart-type d'un échantillon, il faut diviser par n1 et non par n, n étant l'effectif de l'échantillon.
σéchantillon=i=1n|xix¯|2n1

Le calcul étape par étape de l'écart-type : exemple

Prenons par exemple la série statistique suivante dont l'effectif est de petite taille :
6,2,3,1

1 - On calcule μ dans i=14|xiμ|24

μ est la moyenne arithmétique de la série.
Compléter :
μ=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

2 - On calcule les valeurs de |xiμ|2 dans i=14|xiμ|24

Il s'agit de calculer le carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne.
Par exemple, la première valeur de la série est 6 et la moyenne est 3, donc la valeur absolue de leur écart est 3. Son carré est 9.
Compléter le tableau.
xi|xiμ|2
69
2
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
3
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
1
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

3 - On calcule |xiμ|2 dans |xiμ|24

Le symbole signifie "somme", on calcule donc la somme des quatre valeurs obtenues à l'étape 2.
Compléter :
|xiμ|2=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

4 - On calcule |xiμ|24 dans i=14|xiμ|24

On divise le résultat obtenu à l'étape 3 par l'effectif de la série, N.
Compléter :
|xiμ|24=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

5 - On calcule l'écart-type i=14|xiμ|24

C'est presque terminé ! Il faut maintenant calculer la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 4.
Répondre dans la case prévue.
Arrondir la réponse au centième.
σ=i=14|xiμ|24
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Nous avons calculé l'écart-type d'une série de petite taille.

Résumé de ce que nous avons fait

Nous avons calculé l'écart-type en 5 étapes :
1 - calcul de la moyenne μ.
μ=6+2+3+14=124=3
2 - Calcul du carré de la valeur absolue de l'écart de chacune des valeurs de la série à la moyenne |xμ|2.
x|xμ|2
6|63|2=32=9
2|23|2=12=1
3|33|2=02=0
1|13|2=22=4
Étapes 3, 4 et 5:
σ=i=14|xiμ|24=9+1+0+44=144=3,51,87

À vous

Rappel de la formule :
σ=i=1n|xμ|2n
Soit la série :
1,4,7,2,6
Calculer l'écart-type de la série.
Arrondir la réponse au centième.
σ=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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  • piceratops seed style l'avatar de l’utilisateur Ludovic Delrez
    Ne devons-nous pas diviser par n-1 à la place de n ?
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur zougmart
    Comment calculer l equart type avec les intervales
    (2 votes)
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  • orange juice squid orange style l'avatar de l’utilisateur ArLebour
    Bonjour,
    Pourquoi calcule-t-on "le carré de l'écart à la moyenne de chacune des valeurs de la série" pour devoir au final réduire l'ensemble du calcul par une racine carrée. Ça m'aurait intuitivement semblé cohérent (de manière très floue) si on avait aussi élevé n au carré ; mais ce n'est pas le cas. Pourquoi ?
    Merci
    (2 votes)
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  • leaf red style l'avatar de l’utilisateur sarra.belaid.ger
    Bonjour.
    J'ai besoin de calculer la moyenne de la moyenne et l'écart type des écarts types d'un échantillon de 15 personnes. Chaque personne a effectué une marche normale sur tapis et nous avons mesuré la longueur de pas pendant quelques minutes. Chaque personne des 15 participants a une moyenne et un écart type de sa longueur de pas. J'ai besoin de calculer la moyenne de tous les longueurs de pas de tous les participants ainsi que l'écart type de tous les écarts types des 15 participants. Comment je peux faire ceci, svp ? Merci de votre aide !
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mounia ig
    lorsque on obtient un résultat de l ecart type quelle est l interprétation que l on peut dire et merci d avance
    (1 vote)
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