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Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 3

Leçon 4: Variance et écart-type d'une population

L'écart-type... encore

Ces six questions vont vous permettre de mieux comprendre l'écart-type.

Introduction

Les questions ci-dessous vont vous permettre de mieux comprendre l'écart-type et sa formule.

Elles ne sont pas ordonnées par niveau de difficulté. Essayez de répondre à chaque question par vous-même avant de cliquer sur « J'ai besoin d'une explication ».

La formule

La formule de l'écart-type est

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

où

\sum

signifie « somme de »,

x_{i}

est une valeur de la série,

\bar{x}

est la moyenne arithmétique de la série et

n

est son effectif.

Partie 1

Soit la série de ces

5

nombres :

{1, 4, 7, 2, 6}

Comment est modifié l'écart-type lorsque l'on remplace $7$ ‍ par $12$ ‍ ?

Comment répondre à partir de la formule de l'écart-type ?

Comment est modifié l'écart-type ?

L'écart-type augmente car les données sont plus éloignées de la moyenne :

Comment trouver ce résultat à partir de la formule ?

Dans la formule

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}

est la somme des carrés des écarts à la moyenne. Lorsque les données s'éloignent davantage de la moyenne, la valeur de

\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}

augmente.

Par curiosité, quelle est la nouvelle valeur de l'écart-type ?

L'écart-type de la série

{1, 2, 4, 6, 7}

est approximativement égal à

2, 28

L'écart-type de la série

{1, 2, 4, 6, 12}

est approximativement égal à

3, 90

Partie 2

Est-il possible de créer une série de $4$ ‍ observations d'écart-type égal à $0 ?$ ‍

Si vous avez répondu que c'est possible, faites-le ! Pouvez-vous créer deux séries différentes ? Que diriez-vous de trois ?

Oui, c'est possible !

En fait, il y a un nombre infini de séries possibles.

En voici une :

$5, 5, 5, 5$ ‍

Ou bien :

$8, 8, 8, 8$ ‍

Toute série statistique constante, c'est à dire dont les observations sont toutes identiques, a un écart-type égal à

0

parce que l'écart entre chaque observation et la moyenne est égal à

0

Le calcul pour la série ${5, 5, 5, 5}$ ‍.

Étape 1 : Calcul de la moyenne arithmétique de la série.

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

Étape 2 : Calcul des carrés de l'écart entre chaque observation et la moyenne

$x_{i}$ ‍		$\| x_{i} - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

Étape 3 : Application de la formule

\begin{aligned} σ & = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{4} | x - \bar{x} |^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} = \sqrt{\frac{0}{4}} = \sqrt{0} = 0 \end{aligned}

Partie 3

L'écart-type peut-il être négatif ?

Pourquoi ?
Indice : pensez à la formule.

Non, l'écart-type ne peut pas être négatif !

Cette propriété se déduit immédiatement de la définition de l'écart-type

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

n

est positif puisque c'est l'effectif de la série.

Quel que soit

x_{i}

\sum | x_{i} - \bar{x} |^{2}

est un nombre positif ou nul car c'est la somme de nombres positifs ou nuls.

Et par définition, une racine carrée est un nombre positif ou nul, donc l'écart-type ne peut pas être négatif.

Partie 4

L'écart-type est une mesure de la dispersion d'une série statistique.

Que signifie le terme écart ?

Partie 5

On donne les formules de l'écart-type (σ) et de l'écart absolu moyen (EAM) qui mesurent tous les deux la dispersion :

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$EAM = \frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |}{n}$ ‍

Quelles sont les ressemblances entre ces deux formules ? Quelles sont les différences ?

Quelles sont les ressemblances ?

Les formules sont très similaires ! Elles mettent toutes les deux en jeu la valeur absolue des écarts à la moyenne

| x_{i} - \bar{x} |

et le nombre

n

d'observations.

Quelles sont les différences ?

L'écart absolu moyen est la moyenne arithmétique de la valeur absolue des écarts à la moyenne alors que l'écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des valeurs absolues des écarts à la moyenne. Donc, pour calculer l'écart-type, on élève au carré chaque écart à la moyenne puis on effectue la racine carrée de la somme.

Quel écart est le plus pertinent ?

L'écart-type est plus compliqué à calculer, mais en prenant le carré des écarts, il permet de renforcer le poids des valeurs extrêmes et donc la perception de la dispersion. De plus, l'utilisation de l’écart type est pleinement justifié dans le cas où les valeurs de la série suivent la loi normale, il a alors une signification probabiliste que ne possède pas l'écart absolu moyen. La théorie des probabilités permet en effet d'estimer la chance qu'a une valeur d'être éloignée de la moyenne de plus d'un certain nombre d'écart-types.

Partie 6

Voici la formule que nous avons utilisée pour calculer l'écart-type :

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

Les statisticiens utilisent en réalité cette formule :

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Les deux formules sont -elles identiques ?

Quelle est la différence entre ces deux formules ?

Ici, on calcule le carré de la valeur absolue de chaque écart à la moyenne

x_{i} - \bar{x}

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

Dans cette formule, on calcule le carré de chaque écart à la moyenne

x_{i} - \bar{x}

$\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Les deux formules sont -elles identiques ?

Oui, les deux formules sont identiques.

Élever au carré la valeurs absolue des écarts et élever au carré les écarts revient au même calcul : dans les deux cas, on obtient les mêmes nombres positifs.

Par exemple, on peut calculer

| x - \bar{x} |^{2}

(x - \bar{x})^{2}

x = 2

\bar{x} = 5

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

Les deux nombres sont positifs et ils sont tous deux égaux à

9

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