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Résumé : écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

Écart-type de la population et écart-type de l'échantillon

L'écart-type est une mesure de la dispersion d’une série statistique autour de sa moyenne.
La formule pour calculer la variance et donc l'écart-type n'est pas la même selon qu'il s'agit des données relatives à une population ou des données relatives à un échantillon.
  • Si les données ont été collectées auprès de la population, on divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre d'individus de la population N.
  • Si les données ont été collectées auprès d'un échantillon représentatif de la population constitué de n individus, on doit diviser par n1.
Écart-type de la population :
σ=(xiμ)2N
Écart-type de l'échantillon :
sx=(xix¯)2n1
Les différentes étapes de calcul sont les mêmes sauf la dernière où l'on divise par n1 dans le cas d'un écart-type de l'échantillon.
Nous aborderons chaque formule étape par étape dans les exemples ci-dessous.
On divise par n1 pour que l'écart-type de l'échantillon soit un bon estimateur de l'écart-type de la population. Pour en savoir plus, la vidéo.

Écart-type de la population

La formule de l’écart-type de la population est :
σ=(xiμ)2N
Voici comment calculer l’écart-type de la population :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de la population — μ.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de la population. On obtient la variance de la population.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de la population

Soit la série statistique des notes obtenues (sur 10) par quatre élèves au dernier contrôle de flûte :
Calculer l'écart-type de la série statistique :
6, 2, 3, 1
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
μ=6+2+3+14=124=3
La note moyenne est 3.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
Note : xiÉcart : (xiμ)
663=3
223=1
333=0
113=2
3 - On calcule le carré de chaque écart.
Note : xiÉcart : (xiμ)Écart au carré : (xiμ)2
663=332=9
223=1(1)2=1
333=002=0
113=2(2)2=4
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
9+1+0+4=14
5 - On divise cette somme par l'effectif de la population.
144=3,5
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
3,51,87
L'écart-type est environ égal à 1,87.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices Écart-type d'une série statistique.

Écart-type de l'échantillon

La formule de l’écart-type de l'échantillon  est :
sx=(xix¯)2n1
Voici comment calculer l’écart-type de l'échantillon :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de l'échantillon— x¯.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1. On obtient la variance de l'échantillon.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.

Exemple : Écart-type de l'échantillon

On a interrogé un échantillon de 4 élèves sur le nombre de stylos qu'ils possèdent sur eux.
Calculer l'écart-type de la série statistique des nombres de stylos :
2, 2, 5, 7
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
x¯=2+2+5+74=164=4
Le nombre moyen de crayons dans l'échantillon est de 4.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
Nombre de stylos : xiÉcart : (xiμ)
224=2
224=2
554=1
774=3
3 - On calcule le carré de chaque écart.
Stylos : xiÉcart : (xix¯)Écart au carré : (xix¯)2
224=2(2)2=4
224=2(2)2=4
554=112=1
774=332=9
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
4+4+1+9=18
5 - On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1.
1841=183=6
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
62,45
L'écart-type est environ égal à 2,45.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices écart type d'un échantillon et d'une population.

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