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Statistique et probabilités - Niveau 1
Cours : Statistique et probabilités - Niveau 1 > Chapitre 3
Leçon 5: Variance et écart-type d'un échantillonRésumé : écart-type de la population et écart-type de l'échantillon
Écart-type de la population et écart-type de l'échantillon
L'écart-type est une mesure de la dispersion d’une série statistique autour de sa moyenne.
La formule pour calculer la variance et donc l'écart-type n'est pas la même selon qu'il s'agit des données relatives à une population ou des données relatives à un échantillon.
- Si les données ont été collectées auprès de la population, on divise la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre d'individus de la population N.
- Si les données ont été collectées auprès d'un échantillon représentatif de la population constitué de n individus, on doit diviser par n, minus, 1.
Écart-type de la population :
Écart-type de l'échantillon :
Les différentes étapes de calcul sont les mêmes sauf la dernière où l'on divise par n, minus, 1 dans le cas d'un écart-type de l'échantillon.
Nous aborderons chaque formule étape par étape dans les exemples ci-dessous.
On divise par n, minus, 1 pour que l'écart-type de l'échantillon soit un bon estimateur de l'écart-type de la population. Pour en savoir plus, la vidéo.
Écart-type de la population
La formule de l’écart-type de la population est :
Voici comment calculer l’écart-type de la population :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de la population — mu.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de la population. On obtient la variance de la population.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.
Exemple : Écart-type de la population
Soit la série statistique des notes obtenues (sur 10) par quatre élèves au dernier contrôle de flûte :
Calculer l'écart-type de la série statistique :
6, 2, 3, 1
6, 2, 3, 1
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
La note moyenne est 3.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
| Note : x, start subscript, i, end subscript | Écart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis |
|---|---|
| 6 | 6, minus, 3, equals, 3 |
| 2 | 2, minus, 3, equals, minus, 1 |
| 3 | 3, minus, 3, equals, 0 |
| 1 | 1, minus, 3, equals, minus, 2 |
3 - On calcule le carré de chaque écart.
| Note : x, start subscript, i, end subscript | Écart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis | Écart au carré : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis, squared |
|---|---|---|
| 6 | 6, minus, 3, equals, 3 | 3, squared, equals, 9 |
| 2 | 2, minus, 3, equals, minus, 1 | left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 1 |
| 3 | 3, minus, 3, equals, 0 | 0, squared, equals, 0 |
| 1 | 1, minus, 3, equals, minus, 2 | left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4 |
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
5 - On divise cette somme par l'effectif de la population.
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
L'écart-type est environ égal à 1, comma, 87.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices Écart-type d'une série statistique.
Écart-type de l'échantillon
La formule de l’écart-type de l'échantillon est :
Voici comment calculer l’écart-type de l'échantillon :
Étape 1 : On calcule la moyenne arithmétique de l'échantillon— x, with, \bar, on top.
Étape 2 : On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations. Une observation inférieure à la moyenne a un écart négatif et une observation supérieure à la moyenne a un écart positif.
Étape 3 : On calcule le carré de chaque écart.
Étape 4 : On calcule la somme des valeurs obtenues.
Étape 5 : On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1. On obtient la variance de l'échantillon.
Étape 6 : On calcule la racine carrée du résultat.
Exemple : Écart-type de l'échantillon
On a interrogé un échantillon de 4 élèves sur le nombre de stylos qu'ils possèdent sur eux.
Calculer l'écart-type de la série statistique des nombres de stylos :
2, 2, 5, 7
2, 2, 5, 7
1 - On calcule la moyenne arithmétique de la population.
Le nombre moyen de crayons dans l'échantillon est de 4.
2: On calcule l'écart à la moyenne de chacune des observations.
| Nombre de stylos : x, start subscript, i, end subscript | Écart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, mu, right parenthesis |
|---|---|
| 2 | 2, minus, 4, equals, minus, 2 |
| 2 | 2, minus, 4, equals, minus, 2 |
| 5 | 5, minus, 4, equals, 1 |
| 7 | 7, minus, 4, equals, 3 |
3 - On calcule le carré de chaque écart.
| Stylos : x, start subscript, i, end subscript | Écart : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis | Écart au carré : left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, minus, x, with, \bar, on top, right parenthesis, squared |
|---|---|---|
| 2 | 2, minus, 4, equals, minus, 2 | left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4 |
| 2 | 2, minus, 4, equals, minus, 2 | left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 4 |
| 5 | 5, minus, 4, equals, 1 | 1, squared, equals, 1 |
| 7 | 7, minus, 4, equals, 3 | 3, squared, equals, 9 |
4 - On calcule la somme des valeurs obtenues.
5 - On divise par l'effectif de l'échantillon diminué de 1.
6 - On calcule la racine carrée de la valeur obtenue à l'étape 5.
L'écart-type est environ égal à 2, comma, 45.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices écart type d'un échantillon et d'une population.
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