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Intégrale définie d'une fonction rationnelle

On calcule l'intégrale de -1 à -2 de la fonction (16-x³)/x³ à l'aide de la règle de dérivation des fonctions puissances lue "à l'envers".

Transcription de la vidéo

bonjour on va essayer de calculer ensemble cette intégrale à l'intégrale de -1 à -2 2 16 - x au cube / etc s'occupe des x alors effectivement au départ ça peut être un petit peu intimidant ça peut faire un petit peu peur parce que la fonction dont on doit calculer intégral ici elle est quand même assez compliqué mais en fait ce qu'on va faire c'est manipuler algébrique mans cette fonction là pour écrire notre intégrale de manière un peu plus simple alors ce que je vais faire déjà ses ré écrire ça comme ça on à l'intégrale de -1 à -2 et je vais décomposer cette fraction là en fait c'est 16 sur x au cube - x au cube sur x au cube donc tout ça x dx là on a quand même un peu simplifié puisque ici sas x occupe sur x au cube ça ça fait 1 est donc finalement ce qu'on doit calculer c'est l'intégrale entre -1 et -2 de cette fonction lax asics au cube - 1 alors ce terme-là 16x au cube je vais l'écrire sous forme d'une puissance en fait c'est 16 x x puissance - 3 et puis ensuite j'ai le moins un qui est là voilà tout ça x dx alors maintenant pour calculer cette intégrale la sq il faut réussir à faire c'est trouver une primitif de cette fonction là et ensuite on pourra calculer la valeur de cette primitive en moins 2 et retranché la valeur de cette primitive en moins à ce qui veut dire qu'on pourra calculer la différence entre -1 et -2 de la valeur de cette primitive alors je vais le faire un peu plus grand voilà je vais prendre un peu plus d espace et donc le problème c'est maintenant de trouver une primitif de cette fonction là alors on peut commencer par le plus simple est en fait c'est pour ça que j'ai écrit le premier terme de cette manière là c'est que là je suis conduit à trouver la primitive d'une fonction puissance et ça c'est assez facile puisqu'on peut prendre la formule de la dérivation d'une fonction puissance à l'envers alors ici j'ai la fonction 16 x x puissance -3 et pour calculer sa primitive en fait je vais augmenter l'exposant 2 1 donc ça me donne moins trois plus un ça fait moins deux et je vais diviser le coefficient par cette valeur là par -2 du coup effectivement maintenant tu peux vérifier que si tu dérive cette fonction là et bien l'exposant - 2 va descendre donc il va se simplifier avec le moins deux qui est ici et puis on va diminuer l'exposant 2 1 donc on aura un exposant égal à -30 retrouvera bien cette fonction là donc une primitif de 16 x x puissance -3 et bien c'est 16 / - 2 c'est-à-dire moins 8 x x exposants - 2 ensuite on doit soustraire une primitif 2 1 alors une primitif 2 1 on sait que c'est x alors ça évidemment ça fait partie des choses quand même dont tu te souviendras usage mais en fait on peut le voir exactement comme ça aussi un ici un cx puissance 0 et donc on peut faire le même travail que tout à l'heure on va augmenter l'exposant 2 1 ici nous qu'on obtient x puissance 1 et on divise par un donc en fait on pourrait écrire notre primitif comme saïx puissance 1 sur 1 mais c'est exactement x donc voilà ça c'est une autre manière de trouver une primitive de 1 en tout cas donc ça c'est une primitive de notre fonction 16x puissance - 3 - 1 et maintenant on doit calculer la valeur de cette primitive en moins deux alors je vais le faire je vais prendre une autre couleur ça me donne donc je vais mettre des grandes parenthèses - huit fois moins de puissance - 2 - - 2 - la valeur de cette primitive on x égales - ans donc ça me donne moins 8 x x x - 1 à la puissance - 2 - - 1 alors il ya peu de calcul à faire ici déjà ici moins deux exposants - de donc moins deux exposants - deux c1 sur -2 au carré donc ça fait un quart donc ça c'est égal à un quart et ensuite quand je multiplie par -8 ça me donne moins 8 / 4 c'est-à-dire moins deux et puis ici on a moins -2 c'est à dire plus de donc finalement ce terme là c'est moins de plus deux ça fait zéro donc on a en fait zéro - alors ici on va faire les calculs aussi - impuissance -2 je vais le faire ici - impuissance -2 et bien c'est un sur -1 au carré et donc ça c'est un donc cette expression là est égal à 1 quand je multiplie par -8 ici j'obtiens -8 et puis ici j'ai moins - 1 c'est-à-dire plus sain et donc tout ce qui est dans cette parenthèse là en fait la valeur de notre primitive en moins un s'est moins 8 + 1 c'est-à-dire moins 7 alors on a presque terminé il faut juste faire attention à quelque chose c'est que il y avait 1 - ici en a zéro au moins - 7 et donc ça c'est égal à 7 voilà plus 7 c'est moins - 7 c'est à dire plus cette voie là on a terminé l'intégrale entre -1 et -2 de cette fonction là et bien c'est égal à 7