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Utiliser la méthode des rectangles
L'exposé de la méthode.
Soit à déterminer une valeur approchée de l'aire de ce domaine :
Une idée est de construire ces rectangles :
Plus il y a de rectangles, meilleure est l'approximation :
La somme des aires de ces rectangles donnent une valeur approchée de l'intégrale de la fonction. On peut utiliser soit des rectangles à droite, soit des rectangles à gauche.
Rectangles à droite et rectangles à gauche
Il existe différentes manières de construire les rectangles. On peut choisir comme longueur de chaque rectangle l'image par la fonction de la borne inférieure (extrémité gauche) de l'intervalle sur lequel il est construit. On dit que l'on construit des rectangles à gauche.
Dans le cas des rectangles à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de la borne supérieure (extrémité droite) de l'intervalle sur lequel il est construit.
Aucune de ces deux approximations n'est meilleure que l'autre.
Subdivisions ou sous-intervalles
Pour approximer cette aire par la méthode des rectangles, on découpe l'intervalle de définition de x en " subdivisions " ou " sous-intervalles " sur lesquels on construit des rectangles. Le nombre de rectangles est donc égal au nombre de subdivisions.
Les subdivisions peuvent être égales, tous les rectangles ont alors la même largueur, ou non égales.
| subdivisions égales | subdivisions non égales |
|---|---|
Exercices d'approximation de l'aire d'un domaine avec la méthode des rectangles
On vous demande d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction g, l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, 2 et x, equals, 6.
Cette approximation doit être faite en utilisant des rectangles à gauche avec quatre subdivisions égales.
Remarque: Ce sont des rectangles à gauche, donc la longueur de chaque rectangle est égale à l'image de la borne inférieure du sous-intervalle sur lequel il est construit.
On additionne les aires des rectangles, on obtient 20 unités d'aire, valeur approchée de l'aire du domaine considéré.
Maintenant, quelques approximations sans l'aide de représentations graphiques.
On vous demande maintenant d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, 1 et x, equals, 10 en utilisant des rectangles à droite avec trois subdivisions égales. On vous donne un tableau de valeurs de la fonction f.
| x | 1 | 4 | 7 | 10 | |
| f, left parenthesis, x, right parenthesis | 6 | 8 | 3 | 5 |
Dans une première étape, vous devez déterminer la largeur de chaque rectangle. La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à 10, minus, 1, equals, 9. Comme on considère trois subdivisions égales, la largeur de chaque rectangle sera égale à 9, divided by, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
Ensuite, il faut déterminer la longueur de chaque rectangle. Le premier rectangle est construit sur l'intervalle open bracket, 1, space, ;, space, 4, close bracket. Comme on utilise des rectangles à droite, la longueur du rectangle est l'image de 4 : f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
De la même manière, le deuxième rectangle, construit sur sur l'intervalle open bracket, 4, space, ;, space, 7, close bracket a pour longueur f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Le troisième (et dernier) rectangle a pour longueur f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
On calcule ensuite les aires de chaque rectangle.
| Premier rectangle | Deuxième rectangle | Troisième rectangle | |
|---|---|---|---|
| Largeur | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd |
| Longueur | start color #e07d10, 8, end color #e07d10 | start color #7854ab, 3, end color #7854ab | start color #ca337c, 5, end color #ca337c |
| Aire | start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24 | start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9 | start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15 |
On additionne les aires des trois rectangles, on obtient 48 unités d'aire.
Autre exercice : on vous demande d'approcher l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript, l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, minus, 3 et x, equals, 3 en utilisant des rectangles à droite avec trois subdivisions égales.
La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à : 3, minus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 6. Donc chaque rectangle a pour largeur 6, divided by, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.
Le premier rectangle est construit sur open bracket, minus, 3, space, ;, space, minus, 1, close bracket, sa longueur est donc f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. De même, la longueur du deuxième rectangle est f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab et la longueur du troisième rectangle est f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
| Premier rectangle | Deuxième rectangle | Troisième rectangle | |
|---|---|---|---|
| Largeur | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd |
| Longueur | start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10 | start color #7854ab, 2, end color #7854ab | start color #ca337c, 8, end color #ca337c |
| Aire | start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1 | start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4 | start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16 |
La valeur approchée de l'aire est 21 unités d'aire.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercises.
Les sommes obtenues par la méthode des rectangles sont des valeurs approchées par défaut ou par excès de l'aire
Ce sont des approximations de l'aire sous une courbe représentative d'une fonction, elles correspondent donc à une valeur approchée par excès (une surestimation) ou à une valeur approchée par défaut (une sous-estimation) de la valeur de cette aire.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Remarque : Si la fonction est croissante sur open bracket, a, space, ;, b, close bracket, l'aire obtenue en utilisant les rectangles à gauche est une sous-estimation de l'aire sous la courbe et l'aire obtenue en utilisant les rectangles à droite est une surestimation de l'aire sous la courbe. Si la fonction est décroissante sur open bracket, a, space, ;, b, close bracket, c'est l'inverse. Il faut donc tenir compte du sens de variation de la fonction et de la méthode utilisée pour savoir si on obtient une surestimation ou une sous-estimation de l'aire.
Les points clés à retenir
Approximation de l'aire d'un domaine avec des rectangles
La première chose à laquelle vous devez penser lorsque vous entendez « méthode des rectangle » est que vous devez utiliser des rectangles pour approcher l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction :
Précision de l'approximation et nombre de subdivisions
Lorsque le nombre de sous-intervalles augmente, l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. L’approximation sera donc d’autant meilleure que le découpage de l'intervalle en rectangles est important.
Rectangles à gauche ou rectangles à droite
Ne pas confondre : si on utilise des rectangles à gauche, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité gauche de l'intervalle sur lequel il est construit. Si on utilise des rectangles à droite, la longueur de chaque rectangle est égale à l'image par la fonction de l'extrémité droite de l'intervalle sur lequel il est construit.
| Rectangles à gauche | Rectangles à droite |
|---|---|
Surestimation et sous-estimation
Lorsqu'on utilise la méthode des rectangles, on obtient une sous-estimation ou une surestimation de l'aire. Il est possible de prévoir si la méthode des rectangles donne une valeur approchée par défaut ou par excès de l'aire.
Selon le sens de variation de la fonction et la méthode choisie (rectangles à gauche ou rectangles à droite), il est possible de prévoir si la valeur de l'aire obtenue sera une surestimation ou une sous-estimation.
| Sens de variation | Rectangles à gauche | Rectangles à droite |
|---|---|---|
| Croissante | Sous-estimation | Surestimation |
| Décroissante | Surestimation | Sous-estimation |
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