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Terminale option math complémentaires

Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 7 

Leçon 5: Méthode des rectangles
Mathématiques
Terminale option math complémentaires
Analyse - Intégration
Méthode des rectangles
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La méthode des rectangles et la notation sigma

Google Classroom
Utiliser le signe somme.
Le signe somme sum est une notation pour symboliser une somme de plusieurs termes de manière synthétique. Il est utilisé par exemple dans le domaine des statistiques, des suites ou des séries.

Exemple d'écriture avec le signe somme quand on utilise la méthode des rectangles

Soit le domaine délimité par la courbe représentative C, start subscript, f, end subscript de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root et l'axe des abscisses sur l'intervalle open bracket, 0, comma, 5, space, ;, 3, comma, 5, close bracket. On veut approximer l'aire de ce domaine.
Function y = the square root of x is graphed. The x-axis goes from 0 to 4. The graph is a curve. The curve starts at (0, 0), moves upward concave down, and ends at (4, 2). The region between the curve and the x-axis, between x = 0.5 and x = 3.5, is shaded.
Pour cela, on utilise des rectangles à droite avec quatre subdivisions égales.
The graph of function y has the shaded region divided into 4 rectangles of width 0.75. Each rectangle touches the curve at the top right corner.
On note A, left parenthesis, i, right parenthesis l'aire du i, start superscript, start text, e, with, \`, on top, m, e, end text, end superscript rectangle.
The area of the rectangles are A of 1, A of 2, A of 3, and A of 4.
La somme des aires des rectangles s'écrit :
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
On exprime A, left parenthesis, i, right parenthesis.
La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à 3, comma, 5, minus, 0, comma, 5, equals, 3. On veut le diviser en 4 sous-intervalles de même longueur. La start color #1fab54, start text, l, a, r, g, e, u, r, end text, end color #1fab54 de chaque rectangle est donc égale à 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54.
La start color #e07d10, start text, l, o, n, g, u, e, u, r, space, end text, end color #e07d10 de chaque rectangle est égale à l'ordonnée de la borne supérieure de l'intervalle sur lequel il est construit (car il s'agit de rectangles à droite).
Soit start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd la borne supérieure de l'intervalle sur lequel est construit le rectangle i, start superscript, start text, end text, end superscript. Pour déterminer x, start subscript, i, end subscript quel que soit i, la borne inférieure sur lequel est construit le premier rectangle est x, equals, 0, comma, 5 et on ajoute l'amplitude de l'intervalle start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 pour obtenir la valeur de la borne supérieure.
The left side of the first rectangle is at x = 0.5. Add 0.75 4 times to get the sides of the rectangles, at x sub 1 to x sub 4.
On a donc start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. On exprime la start color #e07d10, start text, l, o, n, g, u, e, u, r, space, d, e, end text, end color #e07d10 chaque rectangle qui est égale à f, left parenthesis, x, start subscript, i, end subscript, right parenthesis :
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
On obtient l'expression de l'aire du i, start superscript, start text, e, with, \`, on top, m, e, end text, end superscript rectangle :
A(i)=largeur×longueur=0,75×0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{largeur}}\times\goldD{\text{longueur}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\times\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
On additionne ces aires pour i variant de 1 à 4 :
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75×0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\times\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
Et la formule est démontrée !

Résumé : la méthode des rectangles et le signe somme

On veut approximer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket en divisant l'intervalle en n subdivisions égales.
On définit delta, x : on note start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 la start color #1fab54, start text, l, a, r, g, e, u, r, end text, end color #1fab54 de chaque rectangle, start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
On définit x, start subscript, i, end subscript : on note start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd la borne supérieure de chaque subdivision, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, times, i, end color #11accd.
On définit l'aire du i, start superscript, start text, e, with, \`, on top, m, e, end text, end superscript rectangle : la start color #e07d10, start text, l, o, n, g, u, e, u, r, space, end text, end color #e07d10 de chaque rectangle étant start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, l'aire du rectangle i est donc égale à start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, times, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
On additionne les aires des rectangles : On utilise le signe somme. Attention ! i ne prend pas les mêmes valeurs pour des rectangles à droite et des rectangles à gauche :
  • Dans le cas des rectangles à droite, i varie de 1 à n.
  • Dans le cas des rectangles à gauche, i varie de 0 à n, minus, 1 (on obtient les bornes inférieures de chaque subdivision).
Rectangles à gaucheRectangles à droite
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, times, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, times, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Exercice 1.A
  • Actuelle
Dans cet exercice guidé, on va approximer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative C, start subscript, f, end subscript de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1 et l'axe des abscisses sur l'intervalle open bracket, 2, space, ;, 7, close bracket en utilisant des rectangles à gauche et 10 subdivisions identiques.
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 1 to 9. The graph is a curve. The curve starts in quadrant 2, moves downward to a relative minimum at (0, 1), moves upward and ends in quadrant 1. The region between the curve and the x-axis, between x = 2 and x = 7, is shaded.
Quelle est la longueur, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, de chaque rectangle question mark
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Soit le domaine délimité par la courbe représentative C, start subscript, g, end subscript de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 et l'axe des abscisses sur l'intervalle open bracket, 1, space, ;, 7, close bracket. On veut approximer l'aire de ce domaine en utilisant des rectangles à droite et 9 subdivisions identiques.
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 1 to 7. The graph is a curve. The curve starts in quadrant 1, moves downward concave up, and ends in quadrant 1. The region between the curve and the x-axis, between x = 1 and x = 7, is shaded. The shaded region is divided into 9 rectangles of equal width. Each rectangle touches the curve at the top right corner.
Quelle est la valeur approchée de l'aire de ce domaine question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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