Exemples d'utilisation des propriétés des intégrales

alors sur ce graphique j'ai tracé la coop représentatives de la fonction exponentielle donc c'est la courbe d'équations y égale e puissance x et admettons que l'herbe qui et colorié ici en orange dont claire qui est sous la courbe représentative de notre fonction au dessus de l'axé des abscisses et comprise entre les droites équation x égal zéro et x égal 1 est ce qu'on nous dit ici c'est que l'intégrale entre 0 et 1 2e puissance x dx c'est égal à eux - 1 c'est à dire le nombre moindre alors ça c'est une donnée de notre exercice on verra dans d'autres vidéos comment est-ce qu'on peut calculer effectivement l'air de cette portion de plan ici en orange c'est-à-dire l'intégrale défini entre 0 et 1 2e puissance xtx dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est admettre ce résultat et s'en servir pour essayer de calculer les trois intégral qui sont donnés ici voilà alors il ya cette intégrale la celle ci est celle ci donc mais la vidéo sur pause et essaye de faire ce travail-là de ton côté alors maintenant que tu as essayé on va le faire ensemble je vais déjà calculé m'occuper de cette première intégrale à l'intégrale de 1 à 1 2 e puissance x plus de dx alors là tu as peut-être été tentés d'utiliser les propriétés de l'intégrale est de décomposer cette intégrale là en une somme de deux intégrales l'intégrale de 1,2 la fonction e puissance xtx plus l'intégrale de 1,1 de la fonction de dx alors c'était pas une mauvaise idée mais en fait ici il ya quelque chose qu'il faut remarquer c'est que les bornes de l'intervalle d'intégration sont les mêmes la borne supérieure et la borne inférieure sont les mêmes donc en fait c'est comme si on intègre et au dessus d'un point en fait on est en train d'essayer de calculer l'air d'une partie du plan qui a une largeur nul donc en fait cette intégrale là est égal à zéro et ça ça sera toujours le cas remarque bien ça quand on a une borne inférieure d'intégration qui est la même que la borne supérieure d'intégration et bien l'intégrale de n'importe quelle fonction va être est égal à zéro voilà donc ici c'était assez simple on va maintenant examiner la deuxième et dans ce cas là donc c'est l'intégrale de 0 à 1 de la fonction 3 - puissance x dx et ce qui est intéressant à remarquer c'est que ici les bornes d'intégration sont 0 et 1 et c'est exactement le cas dans cette intégrale lakin dont la valeur nous est donné alors là je vais effectivement des composés mon intégral je vais l'écrire comme ça c'est l'intégrale de 0 à 1 de la fonction 3d x - l'intégrale entre 0 et 1 2 011 de la fonction e puissance x dx alors ici ce qui est intéressant c'est que cette expression là on sait ce que c'est l'intégrale de 0,1 depuis 106 dx ça c'est eux - 1 donc ça on sait ce que c'est et puis il faut qu'on arrive maintenant à déterminer cette intégrale là ce terme là alors pour ça que je vais faire un petit dessin un petit croquis rapidement donc je trace deux axes voilà et puis donc ici c'est l'axé des x l'origine et la kz désordonnée l'accès y donc là j'ai une fonction qui est la fonction 3 je vais intégrer cette fonction qui est une fonction constante alors je vais prendre des échelles sur les axes 1 2 donc ça c'est 1 2 puis 6 1 2 3 donc je respecte pas vraiment les échelles c'est pas très grave et donc je peut tracer la représentation graphique de cette fonction constante c'est une droite d'équations y égal 3 donc c'est cette droite là voilà et maintenant ce que je fais c'est déterminer l'intégrale entre 0 et 1 de cette fonction-là donc en fait ça correspond à calculer l'air qui est situé sous cette courbe là entre la courbe d'équations y égal 3 c'est celle ci y égal 3 et puis lax des abscisses entre les deux bornes qui sont 0 et 1 donc zéro c'est ici un c'est là est donc cette intégrale à elle revient calculé l'air de cette partie du plan qui ait compris sous la courbe d'équations y égal 3 au dessus de l'axé des abscisses et entre les deux bornes qui sont x égal zéro x égal 1 alors c'est un rectangle donc on peut très facilement calculer son maire et son maire c'est la largeur qui est un x la hauteur qui est roi donc ces trois ce qui veut dire que finalement cette intégrale elle est égale à 3 est donc finalement notre intégrale de 0,1 2,3 - e puissance xtx et bien c'est 3 - eux - 1 alors 3 - eux - 1 je vais le développer et ça me donne je vais l'écrire en jaune maintenant ça donne 3 - e +1 et donc ça fait 3 + 1 ça fait 4 donc j'ai 4 - hum voilà donc cette intégrale la l'intégrale entre 0 et 1 2 3 - depuis 106 dxc4 - e alors on va passer maintenant à la dernière celle ci intègre allant de 2 à 3 2 puis 106 - de dx alors ici c'est un peu plus perturbant parce que il ya pas mal de différences entre cette intégrale là est celle qui nous est donnée déjà les bornes ne sont pas les mêmes ici on intègre de 2 à 3 alors que ici c'est de 0 à 1 et puis la fonction n'est pas la même ici cee puissance x - 2 alors qu'ici ce puissant 6 tout simplement voilà alors bon ben là quand tu essaies de calculer ce genre d' intégral il ya peut-être quelque chose qui te vient à l'esprit est en tout cas ça serait bien c'est que cette fonction là en fait elle est obtenu à partir de la fonction exponentielle en faisant une translation quelque sorte c'est à dire que la courbe représentatives de la fonction y égal depuis 106 - 2 va s'obtenir en décalant cette courbe là de deux unités vers la droite donc autrement dit la courbe représentative de cette fonction là peut être tracé en décalant cette courbe là entre ans l'attend cette courbe là de deux unités horizontalement vers la droite donc si tu veux on peut essayer de la tracé alors ce point ci va être décalée de deux unités horizontalement vers la droite donc il va arriver ici voilà la courbe va donc passer par ce point là ce point là va arriver ici à peu près voilà je vais prendre quelques autres points pour essayer de faire les choses à peu près correctement ce point ici va être décalée de deux unités vers la droite donc il va arriver à peu près ici et puis je vais prendre un dernier point celui là qui va être décalée de deux unités vers la droite donc qui va arriver à peu près ici voilà donc notre courbe va avoir à peu près cette allure là quelque chose comme ça voilà donc c'est une version alors ici ça se prolonge on sait pas trop comment mais voilà ça se prolonge comme ça donc ça c'est la courbe représentatives de la fonction y et galeux puissance x - 2 et puis l'intervalle d'intégration c'est l'intervalle 2,3 donc on va calculer l'air sous cette courbe compris entre 7 valeurs laïques segat 2 et puis la valeur x égal 3 alors là je vais prolonger un petit peu mon dessin voilà x ici donc là c'est la valeur 3 et donc alors je vais essayer de faire ça à peu près bien ce point là va être décalée de deux unités donc il va arriver à peu près ici et donc la courbe passe comme cela et puis ce point là va être décalée de deux unités donc il va arriver à peu près ici voilà donc ce qu'on doit calculer c'est l'intégrale entre 2 et 3 de cette fonction là donc c'est cette portion du plan ici que je vais hachuré anvers en fait elle est comprise entre la droite d'équations x égal 2 la droite d'équations x égal 3 et puis l'axé des abscisses et la courbe donc toutes ces terres là alors ce qui est intéressant ici c'est que tu vois on a décalé de deux unités la courbe représentatives de la fonction y égal depuis 106 de deux unités horizontalement vers la droite mais on a aussi décalé l'intervalle d'intégration on est passé de l'intervalle 0,1 à l'intervalle 2 3 donc on a décalé l'intervalle d'intégration de deux unités vers la droite aussi horizontalement ce qui veut dire que finalement on a décalé complètement ce dessin là de deux unités horizontalement vers la droite il en a obtenu ce dessin là donc en fait l'air qui est ici l'air que j'ai assuré envers elle est exactement égal à cette heure-là qui été coloriée en orange ici donc finalement l'intégrale de 2 à 3 de la fonction depuis 106 - de dx eh bien c'est exactement égal à l'intégrale entre 0 et 1 2 0 1 2e puissance x dx est donc c'est égal on nous dit ici à eux - 1 voilà alors c'est peut-être un petit peu piégeant au départ un mais il faut vraiment réalisé que cette expression là la fonction e puissant 6 - 2 et bien c'est cette fonction-là décalé de deux unités vers la droite horizontalement et on a exactement le même décalage de l'intervalle d'intégration qui était 0 1 et qui est devenu 2,3 donc décalé lui aussi de deux unités horizontalement vers la droite