If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Déterminer une primitive à partir d'une représentation graphique

A partir de la représentation graphique d'une fonction, réussirez-vous à identifier la représentation graphique de sa primitive ? Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

alors disons que la courbe qui est tracée ici en bleu c'est la courbe représentatif d'une certaine fonction que j'appelle f donc en fait c'est la courbe d'équations y égale f 2 x donc on a cette fonction f dont la courbe est tracée ici et puis disons qu'on a une autre fonction que je vais appeler grand f 2 x et qui est telle qu'en fait ça dérive et la dérive et de grands élèves de x je vais l'écrire comme ça grand theft primes de x et bien c'est exactement cette fonction petit f2 x donc grand f primes de x est égal à petit f2 x donc autrement dit la fonction grand f 2 x est une primitive de la fonction petite eve ii x6 aussi comme ça et ça veut tout simplement dire que si je dérive grand f 2 x et bien je trouve la fonction petit f2 x voilà alors maintenant la situation est posé la question à laquelle on va essayer de répondre c'est est ce que dans ces quatre courbes qui sont tracés ici il y en a une qui pourrait être celle de la fonction grand f 2 x alors mais la vidéo sur pause essaye de voir ce que tu peux faire de ton côté avant qu'on le fasse ensemble donc si cette fonction petit f et la dérivée de la fonction grand f ça veut dire que en fait cette courbe là elle donne la pente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction grand f 2 x en chaque point donc par exemple si je prends le point ici ce point là le point 1 x et gagnent 1 est bien petit f2 1 est égal à 3 ce qui veut dire que en ce point là la courbe représentatives de la fonction grands thèmes de x à une tangente de pente égale à 3 alors maintenant la question qu'il faut se poser c'est qu'est ce qu'on sait du coup sur les coefficients directeur des tangentes à la courbe de grand f grâce à ce graphique qui est ici alors il ya déjà une chose qui est sûre c'est que la courbe représentatives de la fonction petit f est toujours au dessus de l'axé des abscisses qui veut dire que f 2 x est toujours positif positif ou nuls en tout cas ici quand x temps vers moins l'infini on a une asymptote horizontale quels axes des abscisses mais la courbe est toujours au dessus de 7 à 70 donc fgx est toujours positif ce qui veut dire que si je trace la courbe représentatives de la fonction f en fait en chaque point de cette courbe la pente sera positive autrement dit la fonction grand père est toujours croissante elle est croissante alors ça ça va nous permettre peut-être d'éliminer quelques propositions qui sont ici la première proposition on voit bien que c'est une courbe croissante en chaque point la tangente un coefficient directeur qui est positif donc ça c'est un cas possible ici c'est pareil alors là on a une tangente qui al'air horizontale ici et puis là qui monte mais ça correspond aussi au fait que petit f2 x est supérieur ou égal à zéro par contre ici c'est intéressant on peut déjà éliminé de cette proposition là puisque là on a une fonction qui est décroissante en chaque point de la courbe la tangente va avoir une pente négative donc ça c'est pas possible puisque ici en fait petit f2 x est toujours négatif négatif qu'on annule donc voilà on m'a déjà éliminé deux propositions c'est déjà ça la dernière est tout à fait plausible on va la garder puisque là aussi lent chaque point de cette courbe la tangente est positive ou nulle donc c'est cohérent avec ce qu'on vient de dire alors il faut maintenant trouver une autre manière de départager ces trois courbes qui sont là alors comment est ce qu'on peut faire ça tout simplement je peux prendre quelques points quelques valeurs précises de la variable si par exemple je prends le point x égal moins 4 donc je vais calculé m je vais lire plutôt la valeur f de -4 et f 2 - 4 c'est à peu près 0 1 enfin on le lit ici on a l'impression que f 2 - 4 est effectivement très proche de zéro ce qui veut dire que si je prends le point d'apsys -4 sur la courbe de grand f et bien la tangente doit être horizontale à peu près horizontale doit avoir une pente à peu près nulles alors on va regarder ici dans ce premier cas -4 c'est ici donc là c'est le point de cette courbe lakiha pour abscisse -4 et ici on voit que la tangente peut essayer de la trace est ici grossièrement la tangente elle a une pente un coefficient directeur à peu près égal à 1 donc ça c'est pas du tout ce qu'il nous faut puisque nous on veut que la pente de la tangente en ce point là soit à peu près égale à zéro ou très proches de zéro donc je peux barré cette proposition là et il nous reste maintenant ces deux là alors ici - 4 c'est là est effectivement en ce point là la tangente voilà je la trace ici elle a une pente à peu près nulles disons que là on dirait qu'elle est vraiment nulle même donc ça c'est une possibilité qui est tout à fait convenable on ne peut pas l'éliminer pour l'instant et maintenant on va regarder la dernière proposition celle ci - 4 c'est là et là aussi on voit que la pente de la tangente en ce point là au point d'apsys -4 et bien elle est nulle la tangente ici est pratiquement horizontale donc cette proposition-là satisfait cette condition là aussi donc pour l'instant rien ne nous permet de choisir entre ces deux courbes là alors il faut trouver quelque chose d'autre est ce qu'on peut faire tout simplement c'est prendre un autre point sur la courbe de petit f2 x donc je vais prendre par exemple le point d'apsys 0 donc c'est celui là est donc là on lit sur la courbe que petite eve 2 0 est égale 1-1 ce qui veut dire que sur la courbe de grand f au point d'apsys 0 et bien la tangente doit avoir une pente égal à 1 enfin c'est à peu près 1 j'aurais dû dire ça puisque là on dirait que c'est exactement 1 mais bon avec les lectures graphique on n'est jamais vraiment très sûr est ce qu'on peut simplement dire c'est que l'image de zéro est à peu près égale à 1 par la fonction petit f donc maintenant je vais regarder les deux courbes qui me reste je vais me placer au point dab 6 0 donc pour cette première course et ce point là et je vais tracé la tangente à peu près en ce point là à la courbe qui est tracé voilà donc c'est cette tangente là et on voit que la pente je vais l'appeler m est nettement plus petit que 1 ici ça se voit très nettement donc ça c'est pas possible ça ne peut pas être la bonne proposition alors il reste cette dernière proposition on va vérifier si cette condition là est rempli le point d'apsys 0 qui appartient la courbe c'est celui là et en ce point là je peut tracer la tangente voilà qui est à peu près comme ça et on voit que l a effectivement un coefficient directeur à peu près égal à 1 je vais l'écrire comme ça à peu près égal à 1 donc finalement cette courbe là est la seule candidate possible pour la courbe représentatif de notre fonction grand f 2 x dont la dérive et est égal à petit f2 x voilà alors je vais terminer quand même en faisant une toute petite remarque parce que là on n'ait pas demandé de déterminer la fonction petit f et la fonction de grand f mais tu aura probablement reconnu que la fonction petit fc vraiment la fonction exponentielle c'est vraiment exactement cette fonction exponentielle de base eux bien sûr et tu peut remarquer que la fonction grands thèmes de x est très bien c'est exactement la même que la fonction petit f2 x si tu regardes les deux courbes cette courbe là et cette courbe là sont exactement les mêmes et c'est tout à fait normal puisque on sait très bien que la dérivée de la fonction exponentielle c'est la fonction exponentielle elle même donc ici si petit f2 x et la fonction exponentielle et bien grand f 2 x sera aussi la fonction exponentielle